1、12函数的极值一、选择题1下列函数中x0是极值点的函数是()Ayx3 Bycos xCysin xx Dy考点函数在某点处取得极值的条件题点不含参数的函数求极值问题答案B解析A中，y3x20恒成立，所以函数在R上是减少的，故无极值点B中，ysin x，当x0时，函数是减少的；当0x0，当x(1，e)时，f(x)0，故f(x)在x1处取得极大值f(1)ln 11011.3已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A1a2 B3a6Ca6 Da2考点利用导数研究函数的极值题点极值存在性问题答案C解析f(x)3x22axa6.函数f(x)有极大值和极小值，f(x)0
2、有两个不等实根，4a212(a6)0，a6.4已知函数f(x)2x3ax236x24在x2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A(2,3) B(3，)C(2，) D(，3)考点利用导数研究函数的极值题点已知极值(点)求参数答案B解析因为f(x)6x22ax36，且在x2处有极值，所以f(2)0，即244a360，解得a15，所以f(x)6x230x366(x2)(x3)，由f(x)0，得x3.5设三次函数f(x)的导函数为f(x)，函数yxf(x)的图像的一部分如图所示，则()Af(x)极大值为f()，极小值为f()Bf(x)极大值为f()，极小值为f()Cf(x)极大值为f(3)，极小值为
3、f(3)Df(x)极大值为f(3)，极小值为f(3)考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图像上的应用答案D解析当x0，即f(x)0；当3x3时，f(x)0.f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(3)6设ab，函数y(xa)2(xb)的图像可能是()考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图像上的应用答案C解析y(xa)(3xa2b)，由y0得x1a，x2.当xa时，y取得极大值0，当x时，y取得极小值且极小值为负，故选C.7已知函数f(x)ex(sin xcos x)，x(0,2 017)，则函数f(x)的极大值之和为()A. B.C. D.考点函数某点处取得极值的条件题点不含
4、参数的函数求极值问题答案B解析f(x)2exsin x，令f(x)0得sin x0，xk，kZ，当2kx0，f(x)是增加的，当(2k1)x2k时，f(x)0，f(x)是减少的，当x(2k1)时，f(x)取到极大值，x(0,2 017)，0(2k1)2 017，0k0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(舍去)当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为单调增函数故f(x)在x1处取得极小值，极小值为f(1)3，无极大值13已知函数f(x)x3mx22m2x4(m为常数，且m0)有极大值，求m的值考点利用导数研究函数的极值题点已知极值(点)求参数解f(x)3x2mx2m2(x
5、m)(3x2m)，令f(x)0，得xm或xm.又m0，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，m)mmf(x)00f(x)极大值极小值f(x)有极大值f(m)m3m32m34，m1.四、探究与拓展14已知f(x)x36x29xabc，ab0; f(0)f(1)0; f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是_考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根答案解析设g(x)x36x29x，令g(x)0，则x10，x2x33，其图像如图(1)所示要使f(x)x36x29xabc有3个零点，需将g(x)的图像向下平移，如图(2)所示又由f(x)3x212x90，得x11，x23，易知f(1
6、)是极大值，f(3)是极小值由图(2)可知f(0)f(1)0.15已知函数f(x)x2aln x.(1)若a1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a1，求证：在区间1，)上，函数f(x)的图像在函数g(x)x3的图像的下方考点函数极值的综合应用题点函数极值的综合应用(1)解易知函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)x.令f(x)0，得x1或x1(舍去)当x(0,1)时，f(x)0，因此函数f(x)在(1，)上是增加的故x1是f(x)的极小值，所以f(x)在x1处取得极小值.(2)证明设F(x)f(x)g(x)x2ln xx3，则F(x)x2x2.当x1时，F(x)0，故f(x)在区间1，)上是减少的，又F(1)0，所以在区间1，)上，F(x)0恒成立，即f(x)g(x)恒成立因此，当a1时，在区间1，)上，函数f(x)的图像在函数g(x)的图像的下方