1、第一章推理与证明1归纳与类比1.1归纳推理一、选择题1根据给出的数塔猜测123 45697等于()192111293111123941 1111 2349511 11112 34596111 111A1 111 110 B1 111 111C1 111 112 D1 111 1132如图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律排下去,那么第36颗珠子的颜色是()A白色 B黑色C白色可能性大 D黑色可能性大3观察下列各式:7249,73343,742 401,则72 015的末两位数字为()A01 B43 C07 D494n个连续自然数按规律排列如表:根据规律,从2 014到2 016,箭头的方向依
2、次为()5已知anlogn1(n2)(nN),观察下列算式:a1a2log23log342;a1a2a3a4a5a6log23log34log783,.若a1a2a3am2 016(mN),则m的值为()A22 0162 B22 016C22 0162 D22 01646从所给的四个选项中,选择最合适的一个填入问号处,使之呈现一定的规律性,则应选()二、填空题7经计算发现下列不等式:2,2, 2,根据以上不等式的规律,试写出一个对正实数a,b都成立的条件不等式:_.8给出以下数对序列:(1,1)(1,2),(2,1)(1,3),(2,2),(3,1)(1,4),(2,3),(3,2),(4,1
3、)记第n行的第m个数对为anm(m,nN),如a43(3,2),则:(1)a54_;(2)anm_9将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第n行(n3)从左向右的第3个数为_10观察下列不等式:1,1,10且a1,f(x) .(1)求值:f(0)f(1),f(1)f(2);(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式,并加以证明13观察以下各等式:sin230cos260sin 30cos 60,sin220cos250sin 20cos 50,sin215cos245sin 15cos 45.分析上述各式的共同特点,猜想出反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明
4、四、探究与拓展14如图,图(1)是棱长为1的小正方体,图(2)、图(3)是由这样的小正方体摆放而成的,按照这样的方法继续摆放,自上而下分别叫第1层、第2层、第n(nN)层,第n层的小正方体的个数记为Sn.解答下列问题(1)按照要求填表:n1234Sn136(2)S10_;(3)Sn_.15某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图所示的为她们刺绣的最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成的,小正方形数越多,刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形(1)求f(5)的值;(2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出f(n1)与f(n)之间的关系式,并根
5、据你得到的关系式求出f(n)的表达式;(3)求的值答案精析1B2.A3.B4.C5.C6.A7已知a,b是正实数且ab,若ab20,则28(1)(4,2)(2)(m,nm1)9.10111解a12,an1(n1,2,),a1,a2,a3,a4.由此发现分母依次为1,3,5,7,分子都是2.归纳猜想得an(nN)12解(1)f(0)f(1),f(1)f(2).(2)由(1)归纳得对一切实数x,有f(x)f(1x).证明:f(x)f(1x).13解猜想:sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下:sin2cos2(30)sin cos(30)1sin(302)1sin(302)sin(302)sin(302),sin2cos2(30)sin cos(30).14(1)10(2)55(3)(nN)15解(1)f(5)41.(2)f(2)f(1)441,f(3)f(2)842,f(4)f(3)1243,f(5)f(4)1644,由上式规律,得f(n1)f(n)4n.f(n1)f(n)4n,f(n)f(n1)4(n1)f(n2)4(n1)4(n2)f(1)4(n1)4(n2)4(n3)42n22n1.(3)当n2时,(),1()()()1(1).