1、3计算导数一、选择题1下列各式中正确的个数是()(x7)7x6；(x1)x2；()；(cos x)sin x；(cos 2)sin 2.A3 B4 C5 D6考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数答案B解析(x1)x2；(cos 2)0.不正确，故选B.2已知函数f(x)xa，若f(1)4，则a的值等于()A4 B4C5 D5考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数的导数答案A解析f(x)axa1，f(1)a(1)a14，a4.3质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s，则质点在t4时的速度为()A. B.C. D.考点常数、幂函
2、数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数的导数答案B解析s.当t4时，s .4正弦曲线ysin x上切线的斜率等于的点为()A.B.或C.(kZ)D.或(kZ)考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案D解析设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，y在xx0处的导数为cos x0，x02k或2k，y0或.5直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b的值为()A2 Bln 21Cln 21 Dln 2考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案C解析yln x的导数y，令，得x2，切点坐标为(2，ln 2)代入直线yxb，得bln 21.6下列曲线的所有切线中，
3、存在无数对互相垂直的切线的曲线是()Af(x)ex Bf(x)x3Cf(x)ln x Df(x)sin x考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案D解析若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为1.因为A项中，(ex)ex0，B项中，(x3)3x20，C项中，x0，即(ln x)0，所以不会使切线斜率之积为1，故选D.7设曲线yxn1(nN)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1x2xn的值为()A. B.C. D1考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案B解析对yxn1(nN)求导得y(n1)xn.令x1，得在点(1,1)处的切线的斜率kn1，在点(1,1)处的切
4、线方程为y1(n1)(xn1)令y0，得xn，x1x2xn，故选B.二、填空题8若曲线y在点(a，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a .考点几个常用函数的导数题点几个常用函数导数的应用答案64解析y，y，曲线在点(a，)处的切线斜率k，切线方程为y(xa)令x0，得y；令y0，得x3a，该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S3a18，a64.9设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)在点P处的切线垂直，则点P的坐标为 考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案(1,1)解析yex的导数为yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率为k1e01.设P(m，n)
5、，y(x0)的导数为y (x0)，曲线y (x0)在点P处的切线的斜率为k2 (m0)因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1,1)10若曲线y在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是 考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案4解析y，切线方程为y(xa)，令x0，得y，令y0，得xa，由题意知a2，a4.11设f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2 017(x) .考点正弦、余弦函数的导数题点正弦、余弦函数的运算法则答案cos x解析由已知f1(x)cos x，f2
6、(x)sin x，f3(x)cos x，f4(x)sin x，f5(x)cos x，依次类推可得，f2 017(x)f1(x)cos x.12设正弦曲线ysin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的取值范围是 考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案解析(sin x)cos x，klcos x，1kl1，.三、解答题13点P是曲线yex上任意一点，求点P到直线yx的最小距离考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用解如图，当曲线yex在点P(x0，y0)处的切线与直线yx平行时，点P到直线yx的距离最近则曲线yex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y(ex
7、)ex，所以1，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1)利用点到直线的距离公式得最小距离为.四、探究与拓展14函数yx2(x0)的图像在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1，其中kN，若a116，则a1a3a5的值是 考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案21解析y2x，yx2(x0)的图像在点(ak，a)处的切线方程为ya2ak(xak)又该切线与x轴的交点坐标为(ak1,0)，ak1ak，即数列ak是首项为a116，公比为q的等比数列，a34，a51，a1a3a521.15求证：双曲线xya2(a0)上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用证明设P(x0，y0)为双曲线xya2上任一点y.过点P的切线方程为yy0(xx0)令x0，得y；令y0，得x2x0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S|2x0|2a2.即双曲线xya2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.