1、4数学归纳法一、选择题1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步应验证n等于()A1 B2 C3 D4考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第一步：归纳奠基答案C解析由凸多边形的性质，应先验证三角形，故选C.2某个与正整数有关的命题：如果当nk(kN)时命题成立，则可以推出当nk1时该命题也成立现已知n5时命题不成立，那么可以推得()A当n4时命题不成立B当n6时命题不成立C当n4时命题成立D当n6时命题成立考点题点答案A解析因为当nk(kN)时命题成立，则可以推出当nk1时该命题也成立，所以假设当n4时命题成立，那么n5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n4时命题不成立3
2、设Sk，则Sk1为()ASk BSkCSk DSk考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第二步：归纳递推答案C解析因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk，得Sk1.由，得Sk1Sk.故Sk1Sk.4一个与正整数n有关的命题中，当n2时命题成立，且由nk时命题成立，可以推得nk2时命题也成立，则()A该命题对于n2的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取值无关D以上答案都不对考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第二步：归纳递推答案B解析由nk时命题成立，可以推出nk2时命题也成立，且使命题成立的第一个正偶数n02.故对所有的正偶数都成立5设f(x)是定义在正整
3、数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k)n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是_考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第一步：归纳奠基答案109证明：假设当nk(kN)时等式成立，即242kk2k，那么242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即当nk1时等式也成立因此对于任何nN等式都成立以上用数学归纳法证明“242nn2n(nN)”
4、的过程中的错误为_考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第二步：归纳递推答案缺少步骤归纳奠基10已知f(n)1，nN，用数学归纳法证明f(2n)时，f(2n1)f(2n)_.考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第二步：归纳递推答案三、解答题11用数学归纳法证明：15913(4n3)2n2n(nN)考点题点证明(1)当n1时，左边1，右边1，命题成立(2)假设nk(k1，kN)时，命题成立，即15913(4k3)2k2k.则当nk1时，15913(4k3)(4k1)2k2k(4k1)2k23k12(k1)2(k1)所以当nk1时，命题成立综上(1)(2)可知，原命题成立12用数学归纳法证明：1
5、(n2，nN)考点用数学归纳法证明不等式题点利用数学归纳法证明不等式证明(1)当n2时，左式，右式1.因为，所以不等式成立(2)假设当nk(k2，kN)时，不等式成立，即1，则当nk1时，11111，所以当nk1时，不等式也成立综上所述，对任意n2的正整数，不等式都成立四、探究与拓展13用数学归纳法证明“34n152n2(nN)能被14整除”时，当nk1时，34(k1)152(k1)2应变形为_考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第二步：归纳递推答案34(34k152k2)52k2144解析34(k1)152(k1)23434k15252k23434k13452k25252k23452k234(34k152k2)52k2(3452)34(34k152k2)52k2144.14已知数列an的前n项和Sn1nan(nN)(1)计算a1，a2，a3，a4；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论考点数学归纳法证明数列问题题点利用数学归纳法证明数列通项问题解(1)计算得a1；a2；a3；a4.(2)猜想：an.下面用数学归纳法证明当n1时，猜想显然成立假设当nk(k1，kN)时，猜想成立，即ak，那么，当nk1时，Sk11(k1)ak1，即Skak11(k1)ak1.又Sk1kak，所以ak11(k1)ak1，从而ak1，即nk1时，猜想也成立故由和可知猜想成立