1、12函数的极值学习目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件知识点一函数的极值点和极值思考1观察yf(x)的图像，指出其极大值点和极小值点及极值答案极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h)思考2导数为0的点一定是极值点吗？答案不一定，如f(x)x3，尽管由f(x)3x20，得出x0，但f(x)在R上是增加的，不满足在x0的左、右两侧符号相反，故x0不是f(x)x3的极值点梳理(1)函数极值的概念极大值：在包含x
2、0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点(2)函数的单调性与极值如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的
3、，则x0是极小值点，f(x0)是极小值知识点二函数的极值求法(1)求出导数f(x)；(2)解方程f(x)0，(3)对于方程f(x)0的每一个解x0，分析f(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点若f(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点若f(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点若f(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点1导数为0的点一定是极值点()2函数的极大值一定大于极小值()3函数yf(x)一定有极大值和极小值()4极值点处的导数一定为0.()类型一求函数的极值点和极值例1求下列函数的极值(1)f(x)2；(2)f(x).考点函数在某
4、点处取得极值的条件题点不含参数的函数求极值问题解(1)函数f(x)的定义域为R.f(x).令f(x)0，得x1或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极小值极大值由上表可以看出，当x1时，函数有极小值，且极小值为f(1)3；当x1时，函数有极大值，且极大值为f(1)1.(2)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x).令f(x)0，解得xe.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)极大值因此，xe是函数的极大值点，极大值为f(e)，没有极小值反思与感悟函数极值和极值点的求解步骤(
5、1)确定函数的定义域(2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然跟踪训练1求下列函数的极值点和极值(1)f(x)x3x23x3；(2)f(x)x2ex.考点函数在某点处取得极值的条件题点不含参数的函数求极值问题解(1)函数f(x)的定义域为R.f(x)x22x3.令f(x)0，得x11，x23，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大
6、值极小值由上表可以看出，当x1时，函数有极大值，且极大值f(1)，当x3时，函数有极小值，且极小值f(3)6.(2)函数f(x)的定义域为R.f(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极小值极大值由上表可以看出，当x0时，函数有极小值，且极小值为f(0)0.当x2时，函数有极大值，且极大值为f(2)4e2.例2已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xR)，当实数a时，求函数f(x)的单调区间与极值考点函数在某点处取得极值的条件题点含参数求极值问题解f(x)x2(a
7、2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a或xa2，由a知2aa2.分以下两种情况讨论：若a，则2aa2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x) 极大值极小值所以f(x)在(，2a)，(a2，)上是增函数，在(2a，a2)上是减函数，函数f(x)在x2a处取得极大值f(2a)，且f(2a)3ae2a，函数f(x)在xa2处取得极小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.若aa2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)
8、在(，a2)，(2a，)上是增函数，在(a2，2a)上是减函数，函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2，函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.反思与感悟讨论参数应从f(x)0的两根x1，x2相等与否入手进行跟踪训练2已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值考点函数在某点处取得极值的条件题点含参数求极值问题解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，因而f(1)1，f(1)1.所以曲线y
9、f(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0，知当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值类型二利用函数的极值求参数例3已知函数f(x)的导数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取到极大值，则a的取值范围是()A(，1) B(0，)C(0,1) D(1,0)考点利用导
10、数研究函数的极值题点已知极值点求参数答案D解析若a1，因为f(x)a(x1)(xa)，所以f(x)在(，a)上是减少的，在(a，1)上是增加的，所以f(x)在xa处取得极小值，与题意不符；若1a0，则f(x)在(1，a)上是减少的，在(a，)上是增加的，与题意不符，故选D.反思与感悟已知函数的极值求参数时应注意两点(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证跟踪训练3设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x1，x2是函数f
11、(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由考点利用导数研究函数的极值题点已知极值点求参数解(1)f(x)aln xbx2x，f(x)2bx1，解得(2)由(1)可知f(x)ln xx2x，且定义域是(0，)，f(x)x1x1.当x(0,1)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0，当x(2,4)时，f(x)0.f(x)在(1,2)，(4,5)上为增函数，在(2,4)上为减函数，x2是f(x)在1,5上的极大值点，x4是极小值点故选D.2设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点考点函数在某点处取得极值的条件
12、题点不含参数的函数求极值问题答案D解析函数f(x)ln x的定义域为(0，)f(x)，令f(x)0，即0得，x2，当x(0,2)时，f(x)0.所以x2为f(x)的极小值点，故选D.3函数f(x)ax1ln x(a0)在定义域内的极值点的个数为_考点函数在某点处取得极值的条件题点判断极值点的个数答案0解析因为x0，f(x)a，所以当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，所以函数f(x)在(0，)上是减少的，所以f(x)在(0，)上没有极值点4已知曲线f(x)x3ax2bx1在点(1，f(1)处的切线斜率为3，且x是yf(x)的极值点，则ab_.考点利用导数研究函数的极值题点已知极值(点)求参数
13、答案2解析f(x)3x22axb，由题意知即解得则ab2.5已知函数f(x)ax2bln x在x1处有极值.(1)求a，b的值；(2)判断f(x)的单调区间，并求极值考点利用导数研究函数的极值题点已知极值(点)求参数解(1)f(x)2ax，由题意得即a，b1.(2)由(1)得，f(x)x.又f(x)的定义域为(0，)，令f(x)0，解得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值f(x)的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1，)f(x)极小值f(1).1求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解方程f(x)0得方程的根；(4)利用方程f(x)0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号；(5)确定函数的极值，如果f(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值2已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点(1)根据极值点处的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.