1、11导数与函数的单调性(二)学习目标1.会利用导数证明一些简单的不等式问题.2.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法知识点一导数与单调性的关系f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定因为函数f(x)x3在(，)上是增加的，但f(x)0，因此f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件f(x)为增函数的充要条件：f(x)0(当且仅当有限个x或无限个离散的x使得等号成立)知识点二求参数的取值范围已知f(x)在区间D上是增加的，求f(x)中的参数值问题，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f(x)0在D上恒成立，求f(x)中的参数值知识点三利用导数证明不等式要证明f(x)g(x)，x(
2、a，b)，可以等价转化为证明f(x)g(x)0，x(a，b)先证f(x)g(x)0，说明函数f(x)g(x)在区间(a，b)上是增加的；再证f(a)g(a)0，则由增函数的定义可知，当x(a，b)时，f(x)g(x)0，即f(x)g(x)类型一利用函数的单调性求参数例1若函数f(x)kxln x在区间(1，)上是增加的，则k的取值范围是_考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)答案1，)解析由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)上是增加的，等价于f(x)k0在(1，)上恒成立，即k在(1，)上恒成立当x1时，01，k1.即k的取值范围是1，)引申探究1若将
3、本例中条件增加的改为减少的，求k的取值范围解f(x)k，又f(x)在(1，)上是减少的，f(x)k0在(1，)上恒成立，即k，01，k0.即k的取值范围为(，02若将本例中条件增加的改为不单调，求k的取值范围解f(x)kxln x的定义域为(0，)，f(x)k.当k0时，f(x)0时，令f(x)0，得x，只需(1，)，即1，则0k0(或f(x)1，即a2时，函数f(x)在(，1)和(a1，)上是增加的，在(1，a1)上是减少的，由题意知(1,4)(1，a1)且(6，)(a1，)，所以4a16，即5a7.故实数a的取值范围为5,7方法二(数形结合法)如图所示，f(x)(x1)x(a1)因为在(1
4、,4)内，f(x)0，在(6，)内f(x)0，且f(x)0有一根为1，所以另一根在4,6上所以即所以5a7.故实数a的取值范围为5,7方法三(转化为不等式的恒成立问题)f(x)x2axa1.因为f(x)在(1,4)上是减少的，所以f(x)0在(1,4)上恒成立即a(x1)x21在(1,4)上恒成立，所以ax1，因为2x17，所以当a7时，f(x)0在(6，)上恒成立综上知5a7.故实数a的取值范围为5,7类型二利用导数证明不等式例2证明exx1sin x1(x0)考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数证明不等式证明令f(x)exx1(x0)，则f(x)ex10，f(x)在0，)上是增加的，对
5、任意x0，)，有f(x)f(0)，而f(0)0，f(x)0，即exx1，令g(x)xsin x(x0)，g(x)1cos x0，g(x)g(0)，即xsin x0，x1sin x1(x0)综上，exx1sin x1.反思与感悟用导数证明不等式f(x)g(x)的一般步骤(1)构造函数F(x)f(x)g(x)，xa，b(2)证明F(x)f(x)g(x)0，且F(a)0.(3)依(2)知函数F(x)f(x)g(x)在a，b上是单调增函数，故f(x)g(x)0，即f(x)g(x)这是因为F(x)为单调增函数，所以F(x)F(a)0，即f(x)g(x)f(a)g(a)0.跟踪训练2求证：当x1时，23.
6、考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数证明不等式证明令f(x)23，x(1，)，则f(x).当x1时，有0，所以f(x)0，所以函数f(x)在(1，)上是增加的，所以当x1时，恒有f(x)f(1)0，即230，所以当x1时，23.1函数yxln xm的递增区间是()A. B(0，e)C. D.考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求含参数函数的单调区间答案A解析函数的定义域为x|x0，由yln x10，得x，故选A.2已知对任意实数x，都有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且当x0时，f(x)0，g(x)0，则当x0，g(x)0 Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0 Df(x)0，g(x
7、)0时，f(x)，g(x)是增加的，则当x0，g(x)0.3已知函数f(x)x312x，若f(x)在区间(2m，m1)上是减少的，则实数m的取值范围是_考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)答案1,1)解析f(x)0，即3x2120，得2x2.f(x)的减区间为2,2，由题意得(2m，m1)2,2，得1m1.4函数yaxln x在上增加的，则a的取值范围为_考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)答案2，)解析ya，由题意知，当x时，y0，即a在上恒成立，由x，得0，所以f(x)在(，)上为单调增函数，显然当x0时，f(x)0.所以方程xsin x0有唯一的实根x0.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意；(2)先令f(x)0(或f(x)0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“”时，f(x)是否满足题意.