1、5简单复合函数的求导法则学习目标1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导运算(仅限于形如f(axb)的导数)知识点一复合函数的概念已知函数y2x5ln x，yln(2x5)，ysin(x2)思考1这三个函数都是复合函数吗？答案函数yln(2x5)，ysin(x2)是复合函数，函数y2x5ln x不是复合函数思考2试说明函数yln(2x5)是如何复合的？答案设u2x5，则yln u，从而yln(2x5)可以看作是由yln u和u2x5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数梳理 一般地
2、，对于两个函数yf(u)和u(x)，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数yf(u)和u(x)的复合函数，记作yf(x)，其中u为中间变量知识点二复合函数的求导法则(1)复合函数yf(x)的导数和函数yf(u)，u(x)的导数间的关系为yxf(x)f(u)(x)(2)复合函数求导的步骤适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系yf(u)，u(x)分步求导：要特别注意中间变量对自变量求导，先求f(u)，再求(x)计算f(u)(x)，并把中间变量代入原变量的函数1函数yex的导数为yex.()2函数f(x)sin(x)的导数为f(x
3、)cos x()3函数ycos(3x1)由函数ycos u，u3x1复合而成()类型一复合函数的概念例1指出下列函数的复合关系(1)y(abx)x；(2)yln；(3)y3log2(x22x3)；(4)ysin3.考点简单复合函数的导数题点复合函数的概念解函数的复合关系分别是：(1)yux，uabx.(2)yln u，u，vex2.(3)y3log2u，ux22x3.(4)yu3，usin v，vx.反思与感悟要对复合函数分层，应先准确把握住复合函数的特点，才能选择中间变量，写出构成它的内、外层函数跟踪训练1下列函数不可以看成是复合函数的是()Ayxcos x ByCy(2x3)4 Dysin
4、考点简单复合函数的导数题点复合函数的概念答案A解析B中函数y是由函数f(u)和函数u(x)ln x复合而成的，其中u是中间变量；C中函数y(2x3)4是由函数f(u)u4和函数u(x)2x3复合而成的，其中u是中间变量；D中函数ysin是由函数f(u)sin u和函数u(x)x复合而成的，其中u是中间变量故选A.类型二复合函数的求导例2求下列函数的导数：(1)y(3x2)2；(2)yln(6x4)；(3)ye2x1；(4)y；(5)ysin；(6)ycos2x.考点简单复合函数的导数题点简单的复合函数的导数解(1)y2(3x2)(3x2)6(3x2)18x12.(2)y(6x4).(3)ye2
5、x1(2x1)2e2x1.(4)y(2x1) .(5)ycos3cos.(6)y2cos x(cos x)2cos xsin xsin 2x.反思与感悟(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导跟踪训练2求下列函数的导数(1)y；(2)yx；(3)yxcossin.考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数解(1)(ln 3x)(3x)，y.(2)y(x)xx().
6、(3)yxcossinx(sin 2x)cos 2xxsin 4x，ysin 4xcos 4x4sin 4x2xcos 4x.类型三复合函数导数的应用例3设f(x)ln(x1)axb(a，bR，a，b为常数)，曲线yf(x)与直线yx在(0,0)点相切，求a，b的值考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用解由曲线yf(x)过(0,0)点，可得ln 11b0，故b1.由f(x)ln(x1)axb，得f(x)a，则f(0)1aa，即为曲线yf(x)在点(0,0)处的切线的斜率由题意，得a，故a0.反思与感悟复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切
7、点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键跟踪训练3曲线yesin x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用解由yesin x，得y(esin x)cos xesin x，即当x0时，y1，则切线方程为y1x0，即xy10.若直线l与切线平行，可设直线l的方程为xyc0.两平行线间的距离d，得c3或c1.故直线l的方程为xy30或xy10.1函数yxln(2x5)的导数为()Aln(2x5)Bln(2x5)C2xln(2x5)D.考点简单复合函数的导数题点简单的复合函数
8、的导数答案B解析yxln(2x5)xln(2x5)xln(2x5)ln(2x5)x(2x5)ln(2x5).2设aR，函数f(x)exaex的导函数是f(x)，且f(x)是奇函数，若曲线yf(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为()Aln 2 Bln 2 C. D考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案A解析f(x)exaex，由f(x)为奇函数可得a1，故f(x)exex，f(x)exex.设点P(x0，f(x0)处的切线斜率为，则，解得x0ln 2.3已知函数f(x)，且f(1)2，则实数a的值为()A1 B2 C. Da0考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数
9、的综合应用答案B解析由题意得f(x)(ax21)2ax，所以f(1)2，所以a2.故选B.4已知函数f(x)的导函数为f(x)，若f(x)fsin 3xcos 3x，则f_.考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案3解析f(x)fsin 3xcos 3x，f(x)f3cos 3x3sin 3x，令x可得ff3cos 3sin f3，解得f3.5曲线y在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案e2解析y，切线的斜率ke2，则切线方程为ye2(x4)，令x0，得ye2，令y0，得x2，切线与坐标轴围成三角形的面积为2|e2|e2.求简单复合函数f(axb)的导数实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数yf(u)，uaxb的形式，然后再对yf(u)与uaxb分别求导，并把所得结果相乘灵活应用整体思想把函数化为yf(u)，uaxb的形式是关键