1、2导数的概念及其几何意义21导数的概念学习目标1.理解导数的概念.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.3.理解导数的实际意义知识点导数的概念一质点按规律s2t22t做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)思考1质点在前3 s内的平均速度是多少？答案8 m/s.思考2对于函数yf(x)，当x从x0变到x0x时，y关于x的平均变化率是多少？答案.思考3当x趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？答案是梳理导数的定义及表示(1)定义：设函数yf(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为.当x1趋于x0，即x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定
2、的值，那么这个值就是函数yf(x)在x0点的瞬时变化率在数学中，称瞬时变化率为函数yf(x)在x0点的导数(2)记法：函数yf(x)在x0点的导数，通常用符号f(x0)表示，记作f(x0).1f(x0)表示f(x)在xx0处的瞬时变化率()2f(x).()类型一导数定义的理解例1(1)1，则f(x0)等于()A2 B1 C. D0(2)已知f(x0)2，则_.考点导数的概念题点导数的概念的理解答案(1)C(2)1解析(1)1，f(x0).故选C.(2)f(x0)1.反思与感悟利用导数定义解题时，要充分体会导数定义的实质，虽然表达式不同，但表达的实质可能相同跟踪训练1设函数yf(x)在xx0处可
3、导，且a，则f(x0)_.考点导数的概念题点导数的概念的理解答案a解析(3)3f(x0)a，f(x0)a.类型二求函数在某点处的导数例2(1)函数f(x)在x1处的导数为()A2 B2 C1 D1(2)已知点P(x0，y0)是函数f(x)3x2图像上一点，且f(x0)6，则点P的坐标为_考点利用定义求函数在某点处的导数题点利用定义求函数在某点处的导数的应用答案(1)D(2)(1,3)解析(1)f(x)1，当x趋于0时，趋于1，故f(1)1.(2)f(x0)(6x03x)6x06，x01，y03，故点P的坐标为(1,3)反思与感悟求函数yf(x)在点x0处的导数的三个步骤简称：一差，二比，三极限
4、跟踪训练2利用导数的定义求函数yf(x)在x1处的导数考点利用定义求函数在某点处的导数题点函数在某点处的导数的概念的理解解yf(1x)f(1)1，f(1).类型三导数的实际应用例3某小区的某一天用电量y(单位：kWh)是时间x(单位：h)的函数yf(x)，假设函数yf(x)在x5和x12处的导数分别为f(5)12和f(12)50，试解释它们的实际意义考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用解f(5)12表示该小区某一天开始用电后5 h时的用电量增加的速度为12 kW；f(12)50表示该小区某一天开始用电后12 h时的用电量增加的速度为50 kW.反思与感悟首先要理解导数与平均变化率的
5、概念，才能根据实际问题体会到导数的实际意义跟踪训练3一物体的运动方程为s7t28，则该物体在t_时的瞬时速度为1.考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案解析设在tt0时的瞬时速度为1，7t14t0，当 (7t14t0)1时，t0.1函数在某一点处的导数是()A在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B一个函数C一个常数，不是变数D函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率考点导数的概念题点导数的概念的理解答案C解析由导数的定义可知，函数在某点处的导数是平均变化率的极限值，是个常数2如果质点A按照规律s(t)3t2运动，则质点A在t03时的瞬时速度为()A6 B18 C54 D81考点
6、求瞬时速度题点用极限的思想求瞬时速度答案B解析s(t)3t2，t03，ss(3t)s(3)3(3t)233218t3(t)2，183t，(183t)18，故选B.3设函数f(x)可导，则等于()Af(1) B3f(1) C.f(1) Df(3)考点导数的概念题点导数的概念的理解答案C解析f(1)4已知函数yf(x)2ax4，若f(1)2，则a_.考点利用定义求函数在某点处的导数题点利用定义求函数在某点处的导数的应用答案1解析yf(1x)f(1)2a(1x)42a42ax，2a，2a，af(1)1.5若f(x0)0，f(x0)4，则_.考点导数的概念题点导数的概念的简单应用答案8解析22f(x0)8.利用导数定义求导数三步曲：(1)求函数的增量yf(x0x)f(x0)(2)求平均变化率.(3)取极限，得导数f(x0).简记为一差，二比，三极限特别提醒：取极限前，要注意化简，保证使x0时分母不为0.函数在x0处的导数f(x0)只与x0有关，与x无关导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.