1、1函数的单调性与极值11导数与函数的单调性(一)学习目标1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间知识点函数的单调性与导数思考1已知函数(1)y2x1，(2)y3x，(3)y2x，请判断它们的导数的正负与它们的单调性之间的关系答案(1)y20，y2x1是增函数；(2)y30，y2x是增函数思考2观察图中函数f(x)，填写下表导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性00锐角上升增加的00在这个区间内，函数yf(x)是增加的在某个区间内，f(x)0在这个区间内，函数yf(x)是减少的1函数f(x)在定义域上都有f(
2、x)0.()3函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大()类型一函数与导数的图像间的关系例1(1)f(x)是函数yf(x)的导函数，若yf(x)的图像如图所示，则函数yf(x)的图像可能是()考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数图像确定原函数图像答案D解析由导函数的图像可知，当x0，即函数f(x)为增函数；当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即函数f(x)为增函数观察选项易知D正确(2)设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图像如图所示，则导函数yf(x)的图像可能为()考点函数的单调性与导数的关系题点根据原函数图像确定导函数的图像答案D解析应用函数的单调性与其导
3、函数的正负关系来判断导函数的图像反思与感悟函数图像的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图像上升；符号为负，图像下降看导函数图像时，主要是看图像在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性解决问题时，一定要分清是函数图像还是其导函数图像跟踪训练1在同一坐标系中作出三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)及其导函数的图像，下列一定不正确的序号是()A B C D考点题点答案C解析当f(x)0时，yf(x)是增加的；当f(x)0)考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数函数的单调区间解(1)函数yx2ln x的定义域为(0，)，又y.若y0，即解得x1；若y0，即
4、解得0x0，则(x)(x)0，所以x或x.所以函数的单调增区间为(，)，(，)令f(x)0，则(x)(x)0，所以x0，函数在解集所表示的定义域内为增函数(4)解不等式f(x)0，函数在解集所表示的定义域内为减函数跟踪训练2函数f(x)(x22x)ex(xR)的单调减区间为_考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数函数的单调区间答案(2，2)解析由f(x)(x24x2)ex0，即x24x20，解得2x0，得x1，由f(x)0，得0x0时，f(x)，a0，0.由f(x)0，得x1，由f(x)0，得0x0，所以f(x)在(，)上是增加的若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0.所以f(
5、x)在(，ln a)上是减少的，在(ln a，)上是增加的综上所述，当a0时，函数f(x)在(，)上是增加的；当a0时，f(x)在(，ln a)上是减少的，在(ln a，)上是增加的.1函数yxln x，x(0,1)()A在区间(0,1)上是增加的B在区间(0,1)上是减少的C在上是减少的，在上是增加的D在上是增加的，在上是减少的考点函数的单调性与导数的关系题点利用导数值的正负号判定函数的单调性答案C解析yln x1，当0x时，y0，函数yxln x是减少的；当x0，函数yxln x是增加的2若函数f(x)的图像如图所示，则导函数f(x)的图像可能为()考点函数的单调性与导数的关系题点根据原函
6、数图像确定导函数图像答案C解析由f(x)的图像可知，函数f(x)的单调增区间为(1,4)，单调减区间为(，1)和(4，)，因此，当x(1,4)时，f(x)0，当x(，1)和x(4，)时，f(x)0，解得x2，故选D.4若函数f(x)x3bx2cxd的单调减区间为1,2，则b_，c_.考点利用导数求函数的单调区间题点已知单调区间求参数值答案6解析f(x)3x22bxc，由题意知，f(x)0即3x22bxc0的两根为1和2.由得5试求函数f(x)kxln x的单调区间考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求含参数函数的单调区间解函数f(x)kxln x的定义域为(0，)，f(x)k.当k0时，kx10，f(x)0时，由f(x)0，即0，解得0x0，即0，解得x.当k0时，f(x)的单调减区间为，单调增区间为.综上所述，当k0时，f(x)的单调减区间为(0，)；当k0时，f(x)的单调减区间为，单调增区间为.1导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度2利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间