1、章末复习,第五章 数系的扩充与复数的引入,学习目标,1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件. 2.理解复数的几何意义. 3.掌握复数的相关运算.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.复数的有关概念 (1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫作复数，其中a，b分别是它的 和 .若b0，则abi为实数，若 ，则abi为虚数，若 ，则abi为纯虚数. (2)复数相等：abicdi (a，b，c，dR). (3)共轭复数：abi与cdi共轭 (a，b，c，dR). (4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面. 叫作实轴， 叫作虚轴.实轴上的点都表示 ；除了原点外，
2、虚轴上的点都表示 ；各象限内的点都表示非纯虚数.,实部,虚部,b0,a0且b0,ac且bd,ac，bd0,x轴,y轴,实数,纯虚数,(5)复数的模：设复数zabi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数的模或绝对值，记作|z|，即|z|abi| (a，bR).,3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 加法：z1z2(abi)(cdi) ； 减法：z1z2(abi)(cdi) ； 乘法：z1z2(abi)(cdi) ；,(ac)(bd)i,(ac)(bd)i,(acbd)(adbc)i,(2)复数加法的运算律
3、 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2 ，(z1z2)z3 .,z2z1,z1(z2z3),1.复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) 2.原点是实轴与虚轴的交点.( ) 3.方程x2x10没有解.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 复数的概念,解答,解 由a2a60，解得a2或a3. 由a22a150，解得a5或a3. 由a240，解得a2. 由a22a150且a240， 得a5或a3， 当a5或a3时，z为实数.,解答,(2)z是虚数；,解 由a22a150且a240， 得a5且a3且a2， 当a5且a3且a2时，z是虚数.,(3)z
4、是0.,解 由a2a60且a22a150且a240， 得a3，当a3时，z0.,引申探究 本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，请说明理由.,解答,解 由a2a60且a22a150， 且a240，得a无解， 不存在实数a，使z为纯虚数.,反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提. (2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.,解答,跟踪训练1 复数zlog3(x23x3)ilog2(x3)，当x为何实数时：(1)zR；,解 因为一个复数是实数的充要条件是虚部
5、为0，,解得x4，所以当x4时，zR.,解答,(2)z为虚数.,解 因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，,类型二 复数的四则运算,解答,i(i)1 00900.,解答,反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(abi)(cdi)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化. (2)虚数单位i的周期性 i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nN)； inin1in2in30(nN).,跟踪训练2 (1)已知 2i，则复数z等于 A.13i B.13i C.3i D.3i,答案,解析,z13i.,解答,解 设zabi(a，bR)， 由z3ia(b3)i为实数，
6、可得b3.,a1，即z13i.,解答,类型三 数形结合思想的应用,解答,解 由题意得zz2z1cos2sin2(cos 21)i 1(2sin2)i12isin2.,解答,解 由(1)知，点P的坐标为(1，2sin2).,又(0，)，sin 0，,反思与感悟 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论.,跟踪训练3 在复平面内，设z1i(i是虚数单位)，则复数 z2对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案,解析,达标检测,1,2,3,4,答案,解析,解析,1,2,3,4,答案,所以2a0，即a2.,1,2,3,4,即2(a2b2)i2a2bi， 根据复数相等的充要条件得22a，a2b22b， 解得a1，b1，故z1i.,解析,答案,1,2,3,4,34i,解析,答案,1.复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化. 2.复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现. 3.利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题.,规律与方法,