1、第四章 定积分,章末复习,学习目标,1.梳理构建定积分的知识网络. 2.进一步理解定积分的概念及性质，能熟练应用微积分基本定理求定积分.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.曲边梯形 (1)由直线xa，xb(ab)，y0和曲线 所围成的平面图形称为曲边梯形，如图中阴影部分所示.,yf(x),(2)求曲边梯形面积的一般步骤 分割：将区间a，bn等分； 计算：过剩估计值,近似代替：无论用S1还是用s1表示曲边梯形的面积，误差都不会超过S1s1.,2.定积分的概念 一般地，给定一个在区间a，b上的函数yf(x)，其图像如图所示.,将a，b区间分成n份，分点为：ax0x1x2xn1x
2、nb. 第i个小区间为xi1，xi，设其长度为xi，在这个小区间上取一点i，使f(i)在区间xi1，xi上的值最大，设Sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.在这个小区间上取一点i，使f(i)在区间xi1，xi上的值最小，设sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.如果每次分割,后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时，S与s同时趋于某一个固定的常数A，容易验证，在每个小区间xi1，xi上任取一点1，Sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn的值也趋于该常数A，我们称A是函数yf(x)在区间a，b上的 ，记作 ，即 其中叫作积分号，a叫作积分的下限，
3、b叫作积分的上限，f(x)叫作被积函数.,定积分,题型探究,类型一 定积分的计算,答案,解析,答案,解析,cos 2tsin t， 即2sin2tsin t10，,反思与感悟 求定积分通常利用微积分基本定理，若不易找出原函数还可利用定积分的几何意义求解.,解答,解 由定积分的几何意义知，,将直线和半圆的方程联立，可求得交点坐标为(0,0)，(1,1)，,类型二 定积分的综合应用,答案,解析,解答,引申探究 1.本例中，若阴影部分面积是OAP面积的4倍，其他条件不变，求x0.,解答,2.曲线yx2在点P(2,4)处的切线与曲线及直线y0所围成的图形的面积为多少？,解 由题知，曲线在点P处切线的斜
4、率为4， 故曲线在点P处的切线方程为y44(x2)， 即y4x4，,反思与感悟 解决此类问题的关键是利用定积分表示或求出相关的图形的面积.,跟踪训练2 在曲线yx2(x0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的图形的面积为 ，试求： 切点A的坐标以及在切点A处的切线方程.,解答,解 如图，设切点A(x0，y0)，其中x00， 由y2x，得过点A的切线方程为yy02x0(xx0)，,设由曲线和过点A的切线与x轴所围成的图形的面积为S， 则SS曲边AOBSABC，,x01，从而切点为A(1,1)， 切线方程为2xy10.,达标检测,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,答案,2.一
5、物体运动的速度与时间的关系为v(t)t2t2，物体做直线运动，则此物体在时间1,2内的位移为,解析,1,2,3,4,5,答案,3.直线y2x1与直线x0，xm，y0围成图形的面积为6，则正数m等于 A.1 B.2 C.3 D.4,解析,解得m2或3(舍).,4.如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)x2，四边形ABCD是矩形，则阴影区域的面积等于,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)x2，,1,2,3,4,5,答案,解析,1.求定积分的一些常用技巧 (1)对被积函数，要先化简，再求积分. (2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.,规律与方法,2.利用定积分求平面图形面积的一般步骤,同时，要注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零；而平面图形的面积总是非负的.,