1、第二章 2 导数的概念及其几何意义,2.2 导数的几何意义,学习目标,1.理解导数的几何意义. 2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 3.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 割线,梳理 割线的定义 函数yf(x)在x0，x0x的平均变化率为 ，它是过A(x0，f(x0)和B(x0x，f(x0x)两点的直线的 .这条直线称为曲线yf(x)在点A处的一条割线.,斜率,知识点二 导数的几何意义,如图，Bn的坐标为(xn，f(xn)(n1,2,3,4，)，A的坐标为(x0，y0)，直线AT为在点P处的切
2、线.,思考1 割线ABn的斜率kn是多少？,思考2 当点Bn无限趋近于点A时，割线ABn的斜率kn与切线AT的斜率k有什么关系？,答案 kn无限趋近于切线AT的斜率k.,梳理 (1)切线的定义 若A(x0，f(x0)，B(x0x，f(x0x)是曲线yf(x)上的点，当x趋于零时，点B将沿着曲线yf(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l.直线l和曲线yf(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线yf(x)在 处的切线. (2)导数的几何意义 函数yf(x)在x0处的导数，是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的_ . (3)切线方程：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为
3、.,点A,即kf(x0),切线的斜率k，,yf(x0)f(x0)(xx0),1.函数yf(x)在x0处的导数就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率. ( ) 2.直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 求切线方程,解答,解 将x2代入曲线C的方程得y4， 切点为P(2,4).,k4. 曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.,反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤,跟踪训练1 曲线yx21在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是_.,答案,3,解析,k4. 曲线yx21在点(2,5)处的切线方
4、程为y54(x2)，即y4x3. 切线与y轴交点的纵坐标是3.,解答,命题角度2 曲线过某点的切线方程,例2 求过点(1,0)与曲线yx2x1相切的直线方程.,解 设切点为(x0，x x01)，,解得x00或x02.,当x00时，切线斜率k1，过(1,0)的切线方程为y0x1，即xy10. 当x02时，切线斜率k3，过(1,0)的切线方程为y03(x1)，即3xy30. 故所求切线方程为xy10或3xy30.,反思与感悟 过点(x1，y1)的曲线yf(x)的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x0，f(x0).,(3)解方程得kf(x0)，x0，y0，从而写出切线方程.,跟踪训练2 求函数yf(
5、x)x33x2x的图像上过原点的切线方程.,解答,yf(x0x)f(x0),故所求切线方程为xy0或5x4y0.,切线过原点，,类型二 利用图像理解导数的几何意义,例3 已知函数f(x)的图像如图所示，则下列不等关系中正确的是 A.0f(2)f(3)f(3)f(2) B.0f(2)f(3)f(2)f(3) C.0f(3)f(3)f(2)f(2) D.0f(3)f(2)f(2)f(3),解析,答案,f(2)为函数f(x)的图像在点B(2，f(2)处的切线的斜率， f(3)为函数f(x)的图像在点A(3，f(3)处的切线的斜率， 根据图像可知0f(3)f(3)f(2)f(2).,反思与感悟 导数的
6、几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决.,跟踪训练3 若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图像可能是,解析,答案,解析 依题意，yf(x)在a，b上是增函数，则在函数f(x)的图像上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图像，只有A满足.,例4 已知曲线f(x)x21在xx0处的切线与曲线g(x)1x3在xx0处的切线互相平行，求x0的值.,类型三 求切点坐标,解答,解 对于曲线f(x)x21，,对于曲线g(x)1x3，,引申探究 若将本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值.,解答,反思与感悟 求切
7、点坐标的一般步骤 (1)设出切点坐标. (2)利用导数或斜率公式求出斜率. (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标. (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标.,跟踪训练4 直线l：yxa(a0)和曲线C：f(x)x3x21相切，则a的 值为_，切点坐标为_.,答案,解析,解析 设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，,又点(x0，f(x0)在直线yxa上，将x01，y01. 代入得a0，与已知条件矛盾，舍去.,达标检测,1.设f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线 A.不存在 B.与x轴平行或重合 C.与x轴垂直 D.与x轴相交但不垂直,1,2,3,4,5,
8、答案,解析,解析 函数在某点处的导数为0，说明函数的图像在该点处的切线的斜率为0.,1,2,3,4,5,2.曲线y2x21在点(0,1)处的切线的斜率是 A.4 B.4 C.0 D.不存在,解析,答案,3.已知函数yf(x)的图像如图所示，则f(xA)与f(xB)的大小关系是 A.f(xA)f(xB) B.f(xA)f(xB) C.f(xA)f(xB) D.不能确定,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 由导数的几何意义，知f(xA)，f(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图像可知f(xA)f(xB).,答案,解析,4.抛物线yx2在点P处的切线平行于直线y2x3，则点P的坐标为_.,
9、1,2,3,4,5,(1,1),解析 设点P(x0，y0)，,2x02， x01，故点P的坐标为(1,1).,5.已知曲线f(x)x3在点(a，a3)(a0)处的切线与x轴，直线xa围成的三角形的面积为 ，则a_.,1,曲线f(x)x3在点(a，a3)处的切线斜率为f(a)3a2， 切线方程为ya33a2(xa)，即y3a2x2a3.,答案,解析,1,2,3,4,5,1.导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即k f(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. 2.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点坐标(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点.,规律与方法,