1、1.1 定积分的背景面积和路程问题,第四章 1 定积分的概念,学习目标 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法. 2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 曲边梯形的面积,如何计算下列两图形的面积？,答案,答案 直接利用梯形面积公式求解 转化为三角形和梯形求解,思考2,如图，为求由抛物线yx2与直线x1，y0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？,答案,答案 已知图形是由直线x1，y0和曲线yx2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段,(1)曲边梯
2、形：由直线xa，xb(ab)， y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边 梯形(如图所示) (2)求曲边梯形面积的方法 把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图所示) (3)求曲边梯形面积的步骤：分割；近似代替；求和；估计误差,梳理,求曲边梯形面积主要步骤,一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为vv(t)，那么也可以采用 、 、 、 的方法，求出它在atb内的位移s.,知识点二 求变速直线运动的(位移)路程,分割,近似
3、代替,求和,估计误差,题型探究,类型一 求曲边梯形的面积,例1 求直线x0，x3，y0与二次函数曲线f(x) 1所围成的曲边梯形的面积的估计值，并写出估计误差,解答,解 将区间0，310等分，则每个小区间的长度为0.3. 分别以每个小区间左、右端点的纵坐标为小矩形的高，得此平面图形面积的不足估计值s和过剩估计值S.,估计误差不会超过Ss8.206.851.35.,反思与感悟,求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲 (2)步骤：分割近似代替求和估计误差 (3)关键：近似代替 (4)结果：分割越细，面积越精确,跟踪训练1 求由直线x1，x2和y0及曲线y 所围成的曲边梯形的面积的估计值，并写出估计
4、误差,解答,解 将区间1，25等分，分别以每个小区间的左、右端点的纵坐标为小矩形的高，得此平面图形面积的不足估计值s和过剩估计值S.,估计误差不会超过Ss1.321.020.3.,例2 一辆汽车在直线形公路上变速行驶，汽车在时刻t的速度v(t)t25(单位：km/h)试估计这辆汽车在0t2(单位：h)这段时间内行驶的路程,解答,类型二 求变速运动的路程,解 将区间0，210等分，如图 S(0250.2251.825)0.27.72， s(0.2250.4251.825225)0.26.92， 估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km与7.72 km之间,解决此类问题，是通过分割自变量的
5、区间求得过剩估计值和不足估计值，分割得越细，估计值就越接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值,反思与感悟,跟踪训练2 汽车以v3t2作变速直线运动时，试估计汽车在第1秒至第2秒间1 s内经过的路程,解答,解 将行驶时间1 s平均分为10份， 则汽车在1 s内行驶的路程的不足估计值s与过剩估计值S分别是 s3(11.11.21.31.41.51.61.71.81.9)0.12100.16.35， S3(1.11.21.31.41.51.61.71.81.92)0.12100.16.65， 无论是用不足估计值还是过剩估计值估计汽车行驶的路程，误差都不会超过
6、Ss6.656.350.3.,当堂训练,2,3,4,5,1,1.把区间1，3 n等分，所得n个小区间的长度均为,答案,解析,2,3,4,5,1,2.在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi，xi1上的近似值等于 A.只能是左端点的函数值f(xi) B.只能是右端点的函数值f(xi1) C.可以是该区间内任一点的函数值f(i)(ixi，xi1) D.以上答案均正确,答案,2,3,4,5,1,3.一物体沿直线运动，其速度v(t)t，这个物体在t0到t1这段时间内所走的路程为,答案,2,3,4,5,1,4.在区间0，8上插入9个等分点，则第5个小区间是_.,答案,解析,2,3,4,5,1,5.由直线x0，x1，y0和曲线yx2所围成的曲边梯形，当把区间0，1等分为10个小区间时，曲边梯形的面积的不足估计值为_.,答案,0.285,规律与方法,求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤 (1)分割：n等分区间a，b. (2)近似代替：取点ixi1，xi. (4)估计误差：S(过剩估计值)s(不定估计值) “近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).,