1、1.1 导数与函数的单调性(二),第三章 1 函数的单调性与极值,学习目标,1.会利用导数证明一些简单的不等式问题. 2.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,f(x)0能推出f(x)为 ，但反之不一定.因为函数f(x)x3在(，)上是增加的，但f(x)0，因此f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件.f(x)为增函数的充要条件：f(x)0(当且仅当有限个x或无限个离散的x使得等号成立).,增函数,知识点一 导数与单调性的关系,已知f(x)在区间D上是增加的，求f(x)中的参数值问题，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即 在D上恒
2、成立，求f(x)中的参数值.,知识点二 求参数的取值范围,f(x)0,要证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以等价转化为证明f(x)g(x)0，x(a，b).先证f(x)g(x)0，说明函数f(x)g(x)在区间(a，b)上是增加的；再证f(a)g(a)0，则由增函数的定义可知，当x(a，b)时，f(x)g(x)0，即f(x)g(x).,知识点三 利用导数证明不等式,题型探究,类型一 利用函数的单调性求参数,例1 若函数f(x)kxln x在区间(1，)上是增加的，则k的取值范围是_.,解析,答案,1，),即k的取值范围是1，).,引申探究 1.若将本例中条件增加的改为减少的，求k的取值范围
3、.,解答,又f(x)在(1，)上是减少的，,即k的取值范围为(，0.,2.若将本例中条件增加的改为不单调，求k的取值范围.,解答,解 f(x)kxln x的定义域为(0，)，,k的取值范围是(0,1).,当k0时，f(x)0. f(x)在(0，)上是减少的，故不合题意.,反思与感悟 (1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意； 先令f(x)0(或f(x)0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“”时f(x)是否满足题意. (2)恒成立问题的重要
4、思路 mf(x)恒成立mf(x)max； mf(x)恒成立mf(x)min.,解答,解 方法一 (直接法) f(x)x2axa1， 令f(x)0，得x1或xa1. 当a11，即a2时，函数f(x)在(1，)上是增加的，不合题意. 当a11，即a2时，函数f(x)在(，1)和(a1，)上是增加的，在(1，a1)上是减少的， 由题意知(1,4)(1，a1)且(6，)(a1，)， 所以4a16，即5a7. 故实数a的取值范围为5,7.,方法二 (数形结合法) 如图所示， f(x)(x1)x(a1). 因为在(1,4)内，f(x)0， 在(6，)内f(x)0， 且f(x)0有一根为1， 所以另一根在4
5、,6上.,故实数a的取值范围为5,7.,方法三 (转化为不等式的恒成立问题) f(x)x2axa1. 因为f(x)在(1,4)上是减少的， 所以f(x)0在(1,4)上恒成立. 即a(x1)x21在(1,4)上恒成立，所以ax1， 因为2x15， 所以当a5时，f(x)0在(1,4)上恒成立， 又因为f(x)在(6，)上是增加的， 所以f(x)0在(6，)上恒成立，所以ax1，,因为x17， 所以当a7时，f(x)0在(6，)上恒成立. 综上知5a7. 故实数a的取值范围为5,7.,例2 证明exx1sin x1(x0).,类型二 利用导数证明不等式,证明,证明 令f(x)exx1(x0)，则
6、f(x)ex10， f(x)在0，)上是增加的， 对任意x0，)，有f(x)f(0)，而f(0)0， f(x)0，即exx1， 令g(x)xsin x(x0)，g(x)1cos x0， g(x)g(0)，即xsin x0， x1sin x1(x0). 综上，exx1sin x1.,反思与感悟 用导数证明不等式f(x)g(x)的一般步骤 (1)构造函数F(x)f(x)g(x)，xa，b. (2)证明F(x)f(x)g(x)0，且F(a)0. (3)依(2)知函数F(x)f(x)g(x)在a，b上是单调增函数，故f(x)g(x)0，即f(x)g(x). 这是因为F(x)为单调增函数， 所以F(x)
7、F(a)0， 即f(x)g(x)f(a)g(a)0.,证明,所以函数f(x)在(1，)上是增加的，,达标检测,1.函数yxln xm的递增区间是,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,2.已知对任意实数x，都有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且当x0时，f(x)0，g(x)0，则当x0，g(x)0 B.f(x)0，g(x)0 D.f(x)0，g(x)0,解析,答案,解析 由题意知，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数. 当x0时，f(x)，g(x)是增加的， 则当x0，g(x)0.,3.已知函数f(x)x312x，若f(x)在区间(2m，m1)上是减少的，则实数m的取值范围是_.,解析 f(x)0，即3x2120，得2x2. f(x)的减区间为2,2， 由题意得(2m，m1)2,2，,1,1),1,2,3,4,5,解析,答案,2，),答案,解析,1,2,3,4,5,所以f(x)在(，)上为单调增函数， 显然当x0时，f(x)0.,解答,1,2,3,4,5,利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 (1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意； (2)先令f(x)0(或f(x)0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“”时，f(x)是否满足题意.,规律与方法,