1、第二章 变化率与导数,5 简单复合函数的求导法则,学习目标,1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则. 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导运算(仅限于形如f(axb)的导数).,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 复合函数的概念,已知函数y2x5ln x，yln(2x5)，ysin(x2). 思考1 这三个函数都是复合函数吗？,答案 函数yln(2x5)，ysin(x2)是复合函数，函数y2x5ln x不是复合函数.,思考2 试说明函数yln(2x5)是如何复合的？,答案 设u2x5，则yln u，从而yln(2x5)
2、可以看作是由yln u和u2x5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.,梳理 一般地，对于两个函数yf(u)和u(x)，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数yf(u)和u(x)的 函数，记作y ，其中u为中间变量.,复合,f(x),知识点二 复合函数的求导法则,(1)复合函数yf(x)的导数和函数yf(u)，u(x)的导数间的关系为 . (2)复合函数求导的步骤 适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系_ . 分步求导：要特别注意中间变量对自变量求导，先求 ，再求 . 计算 ，并把中间变量代入原变
3、量的函数.,yxf(x)f(u)(x),yf(u)，,u(x),f(u),(x),f(u)(x),1.函数yex的导数为yex.( ) 2.函数f(x)sin(x)的导数为f(x)cos x.( ) 3.函数ycos(3x1)由函数ycos u，u3x1复合而成.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 复合函数的概念,例1 指出下列函数的复合关系.,解答,(1)y(abx)x；,解 函数的复合关系分别是：,yux，uabx.,解答,(3)y3log2(x22x3)；,解 y3log2u，ux22x3.,反思与感悟 要对复合函数分层，应先准确把握住复合函数的特点，才能选择中间变量，写出构成
4、它的内、外层函数.,跟踪训练1 下列函数不可以看成是复合函数的是,解析,答案,C中函数y(2x3)4是由函数f(u)u4和函数u(x)2x3复合而成的，其中u是中间变量；,类型二 复合函数的求导,例2 求下列函数的导数：,解答,(1)y(3x2)2；,解 y2(3x2)(3x2)6(3x2) 18x12.,(2)yln(6x4)；,(3)ye2x1；,解答,解 ye2x1(2x1)2e2x1.,解答,(6)ycos2x.,解 y2cos x(cos x)2cos xsin xsin 2x.,反思与感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不
5、易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的. (2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导.,解答,跟踪训练2 求下列函数的导数.,解答,解答,类型三 复合函数导数的应用,解答,解 由曲线yf(x)过(0,0)点， 可得ln 11b0，故b1.,即为曲线yf(x)在点(0,0)处的切线的斜率.,反思与感悟 复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.,解答,解 由yesin x，
6、得y(esin x)cos xesin x， 即当x0时，y1， 则切线方程为y1x0，即xy10. 若直线l与切线平行，可设直线l的方程为xyc0.,故直线l的方程为xy30或xy10.,达标检测,解析,答案,1.函数yxln(2x5)的导数为,解析 yxln(2x5) xln(2x5)xln(2x5),1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 f(x)exaex， 由f(x)为奇函数可得a1， 故f(x)exex，f(x)exex.,则 ，解得x0ln 2.,1,2,3,4,5,解析,答案,答案,解析,1,2,3,4,5,5.曲线y 在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_.,e2,令x0，得ye2， 令y0，得x2，,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,求简单复合函数f(axb)的导数 实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数yf(u)，uaxb的形式，然后再对yf(u)与uaxb分别求导，并把所得结果相乘.灵活应用整体思想把函数化为yf(u)，uaxb的形式是关键.,规律与方法,