1、4 数学归纳法,第一章 推理与证明,学习目标,1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 数学归纳法,对于一个与正整数有关的等式n(n1)(n2)(n50)0.,思考1 验证当n1，n2，n50时等式成立吗？,答案 成立,思考2 能否通过以上等式归纳出当n51时等式也成立？为什么？,答案 不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立,梳理 (1)数学归纳法的定义 用来证明某些与 n有关的命题，可按下列步骤进行： 验证：当n取第一个值n0(如n01或2等)时，命题成立； 在假设当nk(kn0，kN)时命题成立的前
2、提下，推出当 时命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫作数学归纳法,正整数,nk1,(2)数学归纳法的框图表示,n=n0,n=k,n=k+1,从n0开始所有的正整数n,1.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( ) 2.数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( ) 3.数学归纳法的两个步骤缺一不可.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 用数学归纳法证明等式,证明,(2)假设当nk(k1，kN)时等式成立，,则当nk1时，,即当nk1时，等式也成立. 综合(1)，(2)可知，对一切nN，等式成立.,反思与感悟 用数学归纳
3、法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从nk到nk1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明nk1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝nk1证明目标的表达式变形.,证明,跟踪训练1 用数学归纳法证明：1427310n(3n1)n(n1)2，其中nN.,证明 (1)当n1时，左边144，右边1224，左边右边，等式成立. (2)假设当nk(k1，kN)时等式成立， 即1427310k(3k1)k(k1)2， 那么当nk1时， 1427310k(3k1)(k1)3(k1)1 k(k1)2(k1)3(k1)1 (k1)(k24k4)(k1)(k1)1
4、2， 即当nk1时等式也成立. 根据(1)和(2)可知等式对任何nN都成立.,类型二 用数学归纳法证明不等式,证明,故左边右边，不等式成立. (2)假设当nk(k2，kN)时，命题成立，,则当nk1时，,方法一 (分析法),只需证(3k2)(3k3)(3k1)(3k3)(3k1)(3k2)3(3k1)(3k2)0， 只需证(9k215k6)(9k212k3)(9k29k2)(27k227k6)0， 只需证9k50，显然成立. 所以当nk1时，不等式也成立.,方法二 (放缩法),所以当nk1时，不等式也成立. 由(1)(2)可知，原不等式对一切n2，nN均成立.,证明,(2)假设当nk(k1，k
5、N)时，不等式成立，,当nk1时，不等式成立. 由(1)(2)知对于任意正整数n，不等式成立.,反思与感悟 用数学归纳法证明不等式的四个关键： (1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若nk(k为正整数)，则n0k1. (2)证明不等式的第二步中，从nk到nk1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设.,(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论
6、，常用数学归纳法证明. (4)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立得nk1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.,证明,证明 当n1时，a1a2，命题成立； 假设当nk(k1，kN)时，命题成立，即ak2，,当nk1时，命题也成立. 由得，对任意正整数n，都有an2.,类型三 归纳猜想证明,解答,解答,(2)猜想an的表达式(用a和n表示)，并用数学归纳法证明.,下面用数学归纳法证明. 当n1时，,假设当nk(k1，kN)时猜想成立，,所以当nk1时，,所以当nk1时猜想也成立. 根据与可知猜想对一切nN都成立.,反思与感悟 “归纳猜想证明”的一般步骤,跟踪训练3 请观察以
7、下三个式子：,解答,归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论.,证明：当n1时，左边3，右边3，所以命题成立. 假设当nk(k1，kN)时，命题成立，,则当nk1时，1324k(k2)(k1)(k3),所以当nk1时，命题成立. 由知，命题成立.,达标检测,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,2.用数学归纳法证明“1aa2a2n1 (a1)”.在验证n1时，左端计算所得项为 A.1a B.1aa2 C.1aa2a3 D.1aa2a3a4,解析,答案,解析 将n1代入a2n1得a3，故选C.,3.若命题A(n)(nN)在nk(kN)时成立，则有nk1时命题成
8、立.现知命题对nn0(n0N)时成立，则有 A.命题对所有正整数都成立 B.命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都 成立 D.以上说法都不正确,解析 由已知，得nn0(n0N)时命题成立，则nn01时命题成立， 在nn01时命题成立的前提下，又可推得，n(n01)1时命题也成立， 依此类推，可知选C.,1,2,3,4,5,答案,解析,4.用数学归纳法证明12222n12n1(nN)的过程如下： (1)当n1时，左边1，右边2111，等式成立. (2)假设当nk(kN)时等式成立，即12222k12k1
9、，则当nk1时，12222k12k 2k11.所以当nk1时，等式也成立.由此可知对于任何nN，等式都成立. 上述证明，错误是_.,1,2,3,4,5,答案,未用归纳假设,解析 本题在由nk成立证明nk1成立时， 应用了等比数列的求和公式， 而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符.,解析,证明,1,2,3,4,5,左边右边，等式成立. 假设当nk(k1，kN)时，等式成立.,当nk1时，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,左边右边，等式成立. 即对所有nN，原式都成立.,在应用数学归纳法证题时应注意以下几点： (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：正确分析由nk到nk1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障； (3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.,规律与方法,