1、3 反证法,第一章 推理与证明,学习目标,1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 反证法,(1)定义：我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法. (2)反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与 矛盾，或与 矛盾，或与 矛盾等.,已知条件,定义、公理、定理,假设,1.反证法属于间接证
2、明问题的方法.( ) 2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.( ) 3.反证法的实质是否定结论导出矛盾.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 用反证法证明否定性命题,证明,例1 已知a，b，c，dR，且adbc1，求证：a2b2c2d2abcd1.,证明 假设a2b2c2d2abcd1. 因为adbc1， 所以a2b2c2d2abcdbcad0， 即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20. 所以ab0，cd0，ad0，bc0， 则abcd0， 这与已知条件adbc1矛盾，故假设不成立. 所以a2b2c2d2abcd1.,反思与感悟 (1)用反证法证明否定性命题的
3、适用类型： 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法. (2)用反证法证明数学命题的步骤,证明,a，b，c成等比数列，b2ac， ,ac，从而abc. 这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，,类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题,证明,例2 a，b，c(0,2)，求证：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.,证明 假设(2a)b，(2b)c，(2c)a都大于1. 因为a，b，c(0,2)， 所以2a0,2b0,2c0.,即33，矛盾. 所以(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.,证明,
4、引申探究 已知a，b，c(0,1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于 .,a，b，c都是小于1的正数， 1a,1b,1c都是正数.,反思与感悟 应用反证法常见的“结论词”与“反设词” 当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：,证明,跟踪训练2 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.,证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点， 由y1ax22bxc，y2bx
5、22cxa，y3cx22axb， 得其对应方程的14b24ac0，24c24ab0， 且34a24bc0. 同向不等式求和，得 4b24c24a24ac4ab4bc0， 所以2a22b22c22ab2bc2ac0， 所以(ab)2(bc)2(ac)20，所以abc. 这与题设a，b，c互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而命题得证.,类型三 用反证法证明唯一性命题,例3 求证：方程2x3有且只有一个根.,证明,证明 2x3，xlog23.这说明方程2x3有根. 下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的. 假设方程2x3至少有两个根b1，b2(b1b2)， 则 3, 3，两式相除得 1， b1b20
6、，则b1b2，这与b1b2矛盾. 假设不成立，从而原命题得证.,反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性.,跟踪训练3 若函数f(x)在区间a，b上是增函数，求证：方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根.,证明,证明 假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实根， 设，为其中的两个实根. 因为 ，不妨设， 又因为函数f(x)在a，b上是增函数， 所以f()f(). 这与
7、假设f()0f()矛盾， 所以方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根.,达标检测,1.证明“在ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设 A.三角形中至少有一个直角或钝角 B.三角形中至少有两个直角或钝角 C.三角形中没有直角或钝角 D.三角形中三个角都是直角或钝角,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,2.用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中 A.有一个内角小于60 B.每一个内角都小于60 C.有一个内角大于60 D.每一个内角都大于60,答案,3.用反证法证明“在同一平面内，若ac，bc，则ab”时，应假设 A.a不垂直于c B.a，b都
8、不垂直于c C.ab D.a与b相交,1,2,3,4,5,答案,4.下面关于反证法的说法正确的有_.(填序号) 反证法的应用需要逆向思维； 反证法是一种间接证明方法，否定结论时，一定要全面否定； 反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾； 使用反证法必须先否定结论，当结论的反面出现多种可能时，论证一种即可.,1,2,3,4,5,解析 反证法是一种间接证明方法，利用逆向思维且否定结论时，一定要全面否定，不能只否定一点，故正确， 使用反证法必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，否则证明是不完全的，故错误， 反证法推出的矛盾可以与已知条件相矛盾，故错误.,答案,解析,证明,1,2,3,4,5,证明 假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零，,1,2,3,4,5,用反证法证题要把握三点： (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的. (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法. (3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.,规律与方法,