1、第四章 定积分,1 定积分的概念,学习目标,1.了解“以直代曲”，“以不变代变”的思想方法，会求曲边梯形的面积. 2.了解定积分的概念，会用定义求定积分. 3.理解定积分的几何意义，并掌握定积分的基本性质.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 曲边梯形的面积,思考 如图，为求由抛物线yx2与直线x1，y0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？,答案 已知图形是由直线x1，y0和曲线yx2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段.,梳理 由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的平面图形称
2、为曲边梯形，如图中阴影部分所示. 求曲边梯形的面积的步骤 (1)分割：将区间a，bn等分；,(3)近似代替：无论用S1还是用S2表示曲边梯形的面积，误差都不会超过S1S2.,一般地，给定一个在区间a，b上的函数yf(x)，其图像如图所示. (1)将a，b区间分成n份，分点为：ax0x1x2 xn1xnb.第i个小区间为xi1，xi，设其长 度为xi，在这个小区间上取一点i，使f(i)在区间 xi1，xi上的值最大，设S (i)xi.在这个小区 间上取一点i，使f(i)在区间xi1，xi上的值最小，设s (i)xi.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时S与s同时趋于
3、某一个固定的 ，容易验证，在每个小区间xi1，xi上任取一点,知识点二 定积分的概念,常数A,1，S (i)xi的值也趋于该 ，我们称 是函数yf(x)在区间a，b上的 ，记作 ，即 .,A,常数A,定积分,积分号,积分下限,积分上限,被积函数,(1)定积分的几何意义 当f(x)0时， 表示的是yf(x)与 和 所围曲边梯形的面积. (2)定积分的物理意义 当f(x)表示速度关于时间x的函数时， 表示的是运动物体从 到 时所走过的路程.,知识点三 定积分的几何意义、物理意义,xa，xb,x轴,xa,xb,知识点四 定积分的性质,思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 定积分的定义及应用,解答,例
4、1 求抛物线yx2与直线x0，x1，y0所围成的平面图形的面积S.,解 (1)分割： 在区间0,1上等间隔地插入n1个点，将它等分成n个小区间，,分别过上述n1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积记作S1，S2，Sn，,(2)近似代替： 记f(x)x2.当n很大时，即x很小时，,即在局部小范围内“以直代曲”，,(3)求和：,(4)取极限： 分别将区间0,1等分成8,16,20，等份时，可以看到随着n的不断增大，,反思与感悟 求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲. (2)步骤：分割近似代替求和取极限. (3)关键：近似代替. (4)结果：分割越细，面积越精确.,(5)求
5、和时可用一些常见的求和公式，如,解答,解 (1)分割：,(2)近似代替：,(3)取极限：,类型二 利用定积分的性质求定积分,解答,解答,解答,解答,21e1(e11).,例3 用定积分的几何意义求下列各式的值.,类型三 利用定积分的几何意义求定积分,解答,解答,(2) ., 0.,解答,达标检测,1,2,3,4,5,解析,答案,解析 把区间1,2等分成n个小区间后，每个小区间的长度为 ，且第i个小区间的左端点不小于1.故选B.,1.在求由函数y 的图像与直线x1，x2，y0所围成的平面图形的面积时，把区间1,2等分成n个小区间，则第i个小区间为,1,2,3,4,5,答案,2.设函数f(x)在区
6、间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式Sn (i)xi，其中xi为小区间的长度，那么和式Sn的大小 A.与f(x)和区间a，b有关，与分点的个数n和i的取法无关 B.与f(x)、区间a，b和分点的个数n有关，与i的取法无关 C.与f(x)、区间a，b和i的取法有关，与分点的个数n无关 D.与f(x)、区间a，b、分点的个数n和i的取法都有关,1,2,3,4,5,答案,解析,4.汽车以10米/秒的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以2米/秒2的加速度刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，
7、汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为 A.80米 B.60米 C.40米 D.30米,解析,1,2,3,4,5,答案,解析 由题意知v(t)v0at102t，令v(t)0，得t5， 即当t5秒时，汽车将停车.将区间0,55等分，用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度， 可得汽车刹车距离的过剩估计值S(101021102210231024)130(米).,解答,1,2,3,4,5,解 由定积分的几何意义，得,1,2,3,4,5,由定积分的几何意义，得 0.,所以,2.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分.对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分. 3.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.,规律与方法,