1、第二章 变化率与导数,1 变化的快慢与变化率,学习目标,1.了解变化率在实际生活中的需求，探究和体会平均变化率的实际意义. 2.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 函数的平均变化率,下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况：,思考1 观察右表，每10分钟病人的体温变化相同吗？,答案 不相同.,思考2 哪段时间体温变化较快？,答案 从20分钟到30分钟变化最快.,梳理 函数yf(x)从x1到x2的平均变化率,函数值,自变量,(2)实质： 的改变量与 的改变量之比. (3)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢.,思考2 当t
2、趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？,知识点二 瞬时变化率,思考1 物体的路程s与时间t的关系是s(t)5t2，试求物体在1,1t这段时间内的平均速度.,梳理 瞬时变化率的定义及作用 (1)定义：对于一般的函数yf(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设xx1x0，yf(x1)f(x0)，则函数的平均变化率是 .而当 时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率. (2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢.,x趋于0,1.在平均变化率中，函数值的增量为正值.( ) 2.瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量.( ) 3.函数yf(x)在xx0处的
3、导数值与x的正、负无关.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 函数的平均变化率,解答,解 在x1附近的平均变化率为,在x2附近的平均变化率为,在x3附近的平均变化率为,由于k1k2k3，所以在x3附近的平均变化率最大.,反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1). (2)再计算自变量的改变量xx2x1.,跟踪训练1 (1)已知函数yf(x)x22x5的图像上的一点A(1，6)及邻近一点B(1x，6y)，则 _.,x,答案,解析,(2)如图所示是函数yf(x)的图像，则函数f(x)在区间1,1上的平均变化 率为_；函数f(x)在区间0,2上的平均
4、变化率为_.,答案,解析,yf(1x)f(1) (1x)2(1x)(121)x(x)2，,解答,命题角度2 平均变化率的几何意义,又割线PQ的斜率为2， 1x2，x1.,例2 过曲线yf(x)x2x上的两点P(1,0)和Q(1x，y)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求x的值.,跟踪训练2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在0，t0这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是 A.v甲v乙 B.v甲v乙 C.v甲v乙 D.大小关系不确定,解析 设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC， 由平均变化率的几何意义知，s1(t)在0，t0上的平均变化
5、率v甲kAC，s2(t)在0，t0上的平均变化率v乙kBC. 因为kACkBC，所以v甲v乙.,解析,答案,类型二 求瞬时速度,物体在t1处的瞬时变化率为3. 即物体在t1 s时的瞬时速度为3 m/s.,解答,例3 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1表示，求物体在t1 s时的瞬时速度.,引申探究 1.若本例中的条件不变，试求物体的初速度.,解答,物体在t0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.,解 求物体的初速度，即求物体在t0时的瞬时速度.,2.若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.,解答,则2t019，t04
6、. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.,解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.,反思与感悟 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0).,跟踪训练3 一质点M按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.,解答,解 质点M在t2 s时的瞬时速度即为函数在t2处的瞬时变化率. 质点M在t2附近的平均变化率为,则4a8， a2.,达标检测,1.设函数yf(x)，当自变量x由x0改变到x0x时，函数的改变量y为 A.f(x0x) B.f(x0)x C.f(x0x)f
7、(x0) D.f(x0)x,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,答案,2.质点的运动规律满足st23，则在时间段(3,3t)中，相应的平均速度为 A.6t B.6t C.3t D.9t,解析,解析 s(3t)233236t(t)2，,3.一质点的运动规律为st23t(其中位移单位：m，时间单位：s)，那么该物体在2 s时的瞬时速度是 A.5 m/s B.6 m/s C.7 m/s D.8 m/s,1,2,3,4,5,解析,答案,答案,解析,4.如图，函数yf(x)在x1，x2，x2，x3，x3，x4这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是_.,1,2,3,4,5,x3，x4,解析 由
8、平均变化率的定义可知，函数yf(x)在区间x1，x2，x2，x3，x3，x4上平均变化率分别为 像可以发现函数yf(x)的平均变化率最大的一个区间是x3，x4.,1,2,3,4,5,答案,解析,a2，a2.,2,1.对瞬时速度的理解及求法 (1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率. (2)当t在变化中趋近于0时，比值 趋近于一个确定的常数，此常数称为t0时刻的瞬时速度. 2.对瞬时变化率的两点说明 (1)平均变化率与瞬时变化率的关系： 区别：平均变化率刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；,规律与方法,联系：当x趋于0时，平均变化率 趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值. (2)“x无限趋近于0”的含义： x趋于0的距离要多近有多近，即|x0|可以小于给定的任意小的正数，且始终x0.,