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2020北师大版高中数学选修1-2 第三章 推理与证明 章末检测试卷(含答案)

1、章末检测(三)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1下列选项中,与其他三个选项所蕴含的数学推理不同的是()A独脚难行,孤掌难鸣B前人栽树,后人乘凉C物以类聚,人以群分D飘风不终朝,骤雨不终日2已知在ABC中,A30,B60,求证:ab.证明:A30,B60,AB,a0,则三个数,()A都大于2B至少有一个大于2C至少有一个不小于2D至少有一个不大于28对“a,b,c是不全相等的正数”,给出下列判断:(ab)2(bc)2(ca)20;ab与bc及ac中至少有一个成立;ac,bc,ab不能同时成立其中判断正确的个数为()A0 B1 C2 D39.如

2、图,有一个六边形的点阵,它的中心是1个点(算第1层),第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,依此类推,如果一个六边形点阵共有169个点,那么它的层数为()A6 B7 C8 D910在一个数列中,如果对任意nN,都有anan1an2K(K为常数),那么这个数列叫做等积数列,K叫做这个数列的公积,已知数列an是等积数列,且a11,a22,公积K8,则a1a2a3a12等于()A24 B28 C32 D3611证明命题“f(x)ex在(0,)上是增函数”,一个同学给出的证法如下:f(x)ex,f(x)ex.x0,ex1,00,则f(x)0,f(x)在(0,)上为增函数,他使用的证明方法是()A综合

3、法 B分析法C反证法 D以上都不是12已知a,b为非零实数,则使不等式2成立的一个充分不必要条件是()Aab0 Bab0,b0,b0二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13已知a,b,x均为正数,且ab,则与的大小关系为_14观察下列等式:(11)21,(21)(22)2213,(31)(32)(33)23135,照此规律,第n个等式可为_15在平面几何中,ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为,把这个结论类比到空间:在三棱锥ABCD中(如图所示),面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E,则得到的类比的结论是_16已知a,b,(0,)且1,则使得ab恒成立的的取值范围是_

4、三、解答题(本大题共6小题,共70分)17(10分)1,2能否为同一等差数列中的三项?说明理由18(12分)设a,b为实数,求证:(ab)19.(12分)已知实数p满足不等式(2p1)(p2)0,用反证法证明,关于x的方程x22x5p20无实数根20(12分)设a,b,c为一个三角形的三条边,s(abc),且s22ab,试证:s2a.21.(12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数sin213cos217sin 13cos 17;sin215cos215sin 15cos 15;sin218cos212sin 18cos 12;sin2(18)cos248sin(

5、18)cos 48;sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论22(12分)等差数列an的前n项和为Sn,a11,S393.(1)求数列an的通项an与前n项的和Sn;(2)设bn.求证:数列bn中任意不同三项都不可能成等比数列答案精析1B2.B3A观察下列等式:2,3,4,照此规律,第6个等式中a7,ta2148,ta41.故选A.4D5.B6B当x1时,f(2),当x2时,f(3),当x3时,f(4),故可猜想f(x),故选B.7C由于()()()2226

6、,中至少有一个不小于2,故选C.8B若(ab)2(bc)2(ca)20,则abc,与“a,b,c是不全相等的正数”矛盾,故正确;ab与bc及ac中最多只能有一个成立,故不正确;由于“a,b,c是不全相等的正数”,有两种情形:有两个数相等或三个数都互不相等,故不正确9C由题意知,第1层的点数为1,第2层的点数为6,第3层的点数为26,第4层的点数为36,第5层的点数为46,第n(n2,nN)层的点数为6(n1)设一个点阵有n(n2,nN)层,则共有的点数为16626(n1)1(n1)3n23n1.由题意得3n23n1169,即(n7)(n8)0,所以n8,故共有8层10B由已知,得anan1an

7、28,an1an2an38,两式相除,得1,即an3an,即此数列是一个以3为周期的数列由a1a2a38,得a34,所以a1a2a37,所以a1a2a3a124(a1a2a3)4728.11A12.C13.b,ba0,0,即.14(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)解析由已知的三个等式左边的变化规律,得第n个等式左边为(n1)(n2)(nn);由已知的三个等式右边的变化规律,得第n个等式右边为2n与n个奇数之积,即2n13(2n1)15.16(0,16解析由题意,得ab(ab)()10()10216,当且仅当且1,即a4,b12时,等号成立所以ab的最小值为16,所以要使ab恒成立,只需

8、16.又因为(0,),所以00时,用分析法证明如下:要证明(ab),只需证明()22,即证a2b2(a2b22ab),即证a2b22ab.a2b22ab对一切实数恒成立,(ab)成立综上所述,对任意实数a,b不等式都成立19证明假设方程x22x5p20有实数根,则该方程的根的判别式44(5p2)0,解得p2或p2.而由已知条件实数p满足不等式(2p1)(p2)0,解得2p.数轴上表示的图形无公共部分,故假设不成立,从而关于x的方程x22x5p20无实数根20证明要证明s2a,由于s22ab,所以只需证明s,即证bs.因为s(abc),所以只需证明2babc,即证bac.由于a,b,c为一个三角

9、形的三条边,所以上式成立于是原命题成立21解(1)选择式计算如下:sin215cos215sin 15cos 151sin 30.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下:sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.22(1)解解设等差数列an的公差为d,则S33a13d93.又a11,解得d2,所以an2n1,Snn(n)(nN)(2)证明由(1)得bnn,假设数列bn中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比数列则bbpbr,即(q)2(p)(r),即(q2pr)(2qpr)0,所以即()2pr,得(pr)20,得pr,与p,q,r互不相等矛盾所以数列bn中任意不同三项都不可能成等比数列