1、章末检测(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且AB，则一定有()A.cos Acos B B.sin Asin BC.tan Atan B D.sin Asin B解析AB，ab，由正弦定理，得sin Asin B，故选B.答案B2.已知ABC中，a4，b4，A30，则B等于()A.30 B.30或150C.60 D.60或120解析由，得sin B.又ab，B60或120.答案D3.在ABC中，BC3，CA5，AB7，则的值为()A. B.C. D.解析cos C，则|cos C.
2、答案C4.在ABC中，a，b(0)，A45，则满足此条件的三角形个数是()A.0个 B.1个C.2个 D.无数个解析当正弦定理得sin B，因为1，故满足此条件的三角形不存在.答案A5.ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，则()A.2 B.2C. D.解析asin Asin Bbcos2Aa，sin2Asin Bsin Bcos2Asin A，sin Bsin A，ba，.答案D6.在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若3a2b，则的值为()A. B. C.1 D.解析本题主要考查三角函数中的正弦定理，由正弦定理可得，si
3、n Bsin A，将其代入所求式子中，得，选D.答案D7.在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，则A()A.30 B.60C.120 D.150解析由sin C2sin B及正弦定理，得c2b，a2b2bc6b2，即a27b2，由余弦定理，cos A.又0A180，A30答案A8.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点D测得水柱顶端的仰角为45，沿点D向北偏东30前进100 m到达点C，在C点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A.50 m B.100 m C.120 m D.1
4、50 m解析如图，AB为水柱，高度设为h，D在A的正西方向，C在D的北偏东30方向.且CD100 m，ACB30，ADB45.在ABD中，ADh，在ABC中，ACh.在ACD中，ADC60，由余弦定理得cos 60，h50或100(舍).答案A9.已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2Acos 2A0，a7，c6，则b()A.10 B.9C.8 D.5解析由倍角公式得23cos2Acos 2A25cos2A10，cos2A，ABC为锐角三角形cos A，由余弦定理a2b2c22bccos A，得b2b130，即5b212b650，解方程得b5.答案D10.在ABC中
5、，a，b，c分别为A，B，C的对边，若2bac，B30，ABC的面积为，则b等于()A.1 B.C. D.2解析由已知acsin 30，ac6，b2a2c22accos 30(ac)22acac4b2126，b1.答案A11.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C()A. B. C. D.解析由题意得sin(AC)sin A(sin Ccos C)0，即sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，即sin C(sin Acos A)sin Csin0，因为sin C0，所以sin0
6、，又因为A(0，)，所以A，所以A.由正弦定理得，即sin C，得C，故选B.答案B12.在ABC中，已知2acos Bc，sin Asin B(2cos C)sin2，则ABC为()A.等边三角形 B.等腰直角三角形C.锐角非等边三角形 D.钝角三角形解析2acos Bc，2sin Acos Bsin Csin(AB)，2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B，sin(AB)0，AB.又sin Asin B(2cos C)sin2，sin Asin Bsin2，2sin Asin Bsin22sin Asin B1，即sin2A，0A，sinA.AB，C.答案B二、填空
7、题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.在ABC中，已知BAC60，ABC45，BC，则AC_.解析在ABC中，利用正弦定理得AC.答案14.在ABC中，M是线段BC的中点，AM3，BC10，_.解析法一()()|2|295516.法二特例法，假设ABC是以AB，AC为腰的等腰三角形，如图所示，AM3，BC10，则ABAC，cosBAC，|cosBAC16.答案1615.在ABC中，已知BC3，AB10，AB边上的中线为7，则ABC的面积为_.解析如图，设ABC中AB边上的中线为CD.则BCD中，BC3，BD5，CD7，cos B，又B(0，180)，B120，sin B，SBCDB
8、CBDsin B35，SABC2SBCD.答案16.某人在C点测得塔AB在南偏西80，仰角为45，沿南偏东40方向前进10米到O，测得塔A仰角为30，则塔高为_.解析画出示意图，如图所示，CO10，OCD40，BCD80，ACB45，AOB30，AB平面BCO，令ABx，则BCx，BOx，在BCO中，由余弦定理，得(x)2x21002x10cos(8040)，整理得x25x500，解得x10，x5(舍去)，故塔高为10米.答案10米三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17.(本小题满分10分)在ABC中，若(accos B)sin B(bccos A)sin A，判断ABC的形状.解结合正
9、弦定理及余弦定理知，原等式可化为ba，整理得：(a2b2c2)b2(a2b2c2)a2，a2b2c20或a2b2，a2b2c2或ab.故ABC为直角三角形或等腰三角形.18.(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2，cos B.(1)若b4，求sin A的值；(2)若ABC的面积SABC4，求b、c的值.解(1)cos B0，且0B，sin B.由正弦定理得，所以sin Asin B.(2)SABCacsinBc4，c5.由余弦定理得b2a2c22accosB225222517，b.19.(本小题满分12分)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(
10、abc)(abc)ac.(1)求B；(2)若sin Asin C，求C.解(1)因为(abc)(abc)ac，所以a2c2b2ac，由余弦定理得cos B，又B(0，180)，因此B120.(2)由(1)知AC60，所cos(AC)cos Acos Csin Asin Ccos Acos Csin Asin C2sin Asin Ccos(AC)2sin Asin C2，又因为60AC60，故AC30或AC30，由得C15或C45.20.(本小题满分12分)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(a，b)与n(cos A，sin B)平行.(1)求A；(2)若a，b2，求ABC
11、的面积.解(1)因为mn，所以a sin Bb cos A0.由正弦定理得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，从而tan A，由于0A，所以A.(2)由余弦定理，得a2b2c22bc cos A，而a，b2，A，得74c22c，即c22c30，因为c0，所以c3.故ABC的面积为bcsin A.21.(本小题满分12分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin A4bsin B，ac(a2b2c2).(1)求cos A的值；(2)求sin(2BA)的值.解(1)由asin A4bsin B及，得a2b.由ac(a2b2c2)及余弦定理，得cos
12、A.(2)由(1)，可得sin A，代入asin A4bsin B，得sin B.由(1)知，A为钝角，所以cos B.于是sin 2B2sin Bcos B，cos 2B12sin2B，故sin(2BA)sin 2Bcos Acos 2Bsin A.22.(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC).(1)求cos A的值；(2)若a4，b5，求在方向上的投影.解(1)由2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC)，得cos(AB)1cos Bsin(AB)sin Bcos B，即cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，则cos(ABB)，即cos A.(2)由cos A，A，得sin A.由正弦定理有，所以sin B.由题意知ab，则AB，故B.根据余弦定理有(4)252c225c，解得c1或c7(舍去).又cos Bcos ，故在方向上的投影为|cos B.