1、4.3简单线性规划的应用一、选择题1.某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1千克，b1千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2千克、b2千克.甲、乙产品每千克可获利润分别为d1元、d2元.月初一次性购进本月所用原料A，B各c1千克、c2千克.要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大.在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润zd1xd2y最大的数学模型中，约束条件为()A. B.C. D.答案C2.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软
2、件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有()A.6 B.7 C.8 D.9答案B解析设购买软件x片，磁盘y盒，则 画出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示.落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点.即有7种选购方式.3.某学校用800元购买A，B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A，B两种用品应各买的件数为()A.2件，4件 B.3件，3件C.4件，2件 D.不确定答案B4.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机
3、运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为()A.2 000元 B.2 200元C.2 400元 D.2 800元答案B解析设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件求线性目标函数z400x300y的最小值，可行域如图阴影部分(含边界)所示，解得当时，z有最小值，且zmin2 200(元).5.某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 6
4、00元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A.31 200元 B.36 000元C.36 800元 D.38 400元答案C解析设租A型车x辆，B型车y辆，租金为z，则画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z1 600x2 400y在点N(5,12)处取得最小值36 800，故选C.6.一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件4元，乙每件7元，甲商品每件卖出去后可赚1元，乙每件卖出去后可赚1.8元.若要使赚的钱最多，那么该商贩购买甲、乙两种商品的件数应分别为()A.7件，3件 B.9件，2件C.4件，
5、5件 D.2件，6件答案D解析设甲、乙各买x，y件，总利润为z元.则目标函数为zx1.8y，约束条件为作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由zx1.8y，得yx，斜率为，所以，由图可知直线过点A时，z取得最大值.又x，yN，所以点A不是最优解，点(0,7)，(2,6)，(9,2)都在可行域内，逐一验证可得，当x2，y6时，z取得最大值，故选D.7.配制A，B两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药需甲料3 mg，乙料5 mg；配一剂B种药需甲料5 mg，乙料4 mg.今有甲料20 mg，乙料25 mg，若A，B两种药至少各配一剂，共有配制方法()A.6种 B.7种 C.8种 D.9种答
6、案C解析设A，B两种药分别配x剂、y剂(x，yN)，则不等式组的解集是以直线x1，y1,3x5y20及5x4y25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为点(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1).所以，在A，B两种药至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法.8.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元.该
7、公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于()A.4 650元 B.4 700元 C.4 900元 D.5 000元答案C解析设当天派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意得设每天的利润为z元，则z450x350y.画出可行域如图阴影部分(含边界)所示.z450x350y50(9x7y)，由图可知平移直线9x7y0经过点A时，z取得最大值.又由得即A(7,5).当x7，y5时，z取到最大值，zmax450735054 900(元).二、填空题9.王老师预算用80元购买菊花和康乃馨两种鲜花，菊花每枝5元，康乃馨每枝9元，设菊花购x枝，康乃馨购y枝，则购花的约束条件是_.答案10.某实
8、验室需购买某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元，另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费_元.答案500解析设购买化工原料需花费z元，设需第一种原料x袋，第二种原料y袋，则有画出可行域(图略)，目标函数为z140x120y，将其变形为yx，当直线yx过点(1,3)时，zmin500.11.某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为_元.船型每只船限载人数租金(元/只)大船512小船38答案116解析设租大船
9、x只，小船y只(x，yN)，则租金z12x8y，作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.由图可知，当直线z12x8y经过点(9.6,0)时，z取最小值，但x，yN.当x9，y1时，zmin116.三、解答题12.某超市要将甲、乙两种大小不同的袋装大米分装成A，B两种规格的小袋，每袋大米可同时分得A，B两种规格的小袋大米的袋数如表所示：规格类型袋装大米类型AB甲21乙13已知库房中现有甲、乙两种袋装大米的数量分别为5袋和10袋，市场急需A，B两种规格的成品数分别为15袋和27袋.问分甲、乙两种袋装大米各多少袋可得到所需A，B两种规格的成品数，且使所用的甲、乙两种袋装大米的袋数最少？(要求画出可行域
10、)解设需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为x，y，所用的袋装大米的总袋数为z，则zxy(x，y为整数)，作出可行域D如图阴影部分(含边界)所示.从图中可知，可行域D的所有整数点为(3,9)，(3,10)，(4,8)，(4,9)，(4,10)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，共8个点.因为目标函数为zxy(x，y为整数)，所以在一组平行直线xyt(t为参数)中，过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是xy12，其经过的整点是(3,9)和(4,8)，它们都是最优解.所以，需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为3,9或4,8可使所用的袋装大米的袋数最少.13.某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少
11、180 t支援物资的任务.该公司有8辆载重为6 t的A型卡车与4辆载重为10 t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型为320元，B型为504元.请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？解设需A型，B型卡车分别为x辆和y辆.列表分析数据.A型车B型车限量车辆数xy10运物吨数24x30y180费用320x504yz由表可知x，y满足线性约束条件且目标函数z320x504y.作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示.可知当直线z320x504y过A(7.5,0)时，z最小，但A(7.5,0)不是整点，继续向
12、上平移直线z320x504y，可知点(8,0)是最优解.这时zmin320850402 560(元)，即用8辆A型车，成本费最低.所以公司每天调出A型卡车8辆时，成本花费最低.14.某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A.甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B.甲车间
13、加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C.甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D.甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱答案B解析设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知甲、乙两车间每天总获利为z280x200y.画出可行域如图阴影部分(含边界)所示.点M(15,55)为直线xy70和直线10x6y480的交点，由图像知z在点M(15,55)处取得最大值.15.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时，若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解(1)依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润W5x6y3(100xy)2x3y300.(2)由题意知约束条件为整理得目标函数为W2x3y300，作出可行域如图中阴影部分所示(整点)，作初始直线l0：2x3y0，平移初始直线经过点A时，W有最大值.由得最优解为A(50,50)，所以Wmax550元.所以每天生产的卫兵个数为50，骑兵个数为50，伞兵个数为0时利润最大，最大利润为550元.