1、4.2简单线性规划一、选择题1.已知变量x，y满足条件则xy的最小值是()A.4 B.3 C.2 D.1答案C解析如图阴影部分(含边界)为不等式组表示的平面区域，当zxy过A点时zxy取得最小值2.2.设变量x，y满足约束条件则目标函数z2x4y的最大值为()A.10 B.12 C.13 D.14答案C解析不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)，由线性规划的知识可知，当z2x4y过A点时，z取得最大值，又得A.zmax2413.3.若变量x，y满足约束条件则xy的最大值为()A.9 B. C.1 D.答案A解析画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，令zxy，则yxz.当直线yx
2、z过点A时，z最大.由得A(4,5)，zmax459.4.设变量x，y满足约束条件则目标函数zy2x的最小值为()A.7 B.4 C.1 D.2答案A解析可行域如图阴影部分(含边界)所示，令z0，得直线y2x0，平移直线y2x知，当直线y2xz过D点时，z取得最小值.由得D(5,3).zmin3257，故选A.5.若点(x，y)位于曲线y|x|与y2所围成的封闭区域内，则2xy的最小值为()A.6 B.2 C.0 D.2答案A解析如图，曲线y|x|与y2所围成的封闭区域如图中阴影部分(含边界)所示，令z2xy，则y2xz，作直线y2x，在封闭区域内平行移动直线y2x，当经过点A(2,2)时，z
3、取得最小值，此时z2(2)26.6.设变量x，y满足约束条件则目标函数z3x4y的最大值和最小值分别为()A.3，11 B.3，11C.11，3 D.11,3答案A解析作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由图可知z3x4y经过点A时，z有最小值，经过点B时，z有最大值.易求得A(3,5)，B(5,3).zmax35433，zmin334511.7.已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a等于()A. B. C.1 D.2答案B解析作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示.易知直线z2xy过交点B时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a，故选B.8.已知若zax
4、y的最小值是2，则a的值为()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，又zaxy的最小值为2，若a2，则(1,0)为最优解，解得a2；若a2，则(3,4)为最优解，解得a，舍去，故a2.二、填空题9.已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是_.(答案用区间表示)答案3,8解析作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示.在可行域内平移直线2x3y0，当直线经过xy2与xy4的交点A(3,1)时，目标函数有最小值，zmin23313；当直线经过xy1与xy3的交点B(1，2)时，目标函数有最大值，zmax21328.所以z3,8.10.
5、已知则x2y2的最小值是_.答案5解析令zx2y2，画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示，令d，即可行域中的点到原点的距离，由图得dmin|OA|，zmind25.11.在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的平面区域内一动点，则|OM|的最小值是_.答案解析作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示.由图可知，当点M在可行域的边界直线xy20上，且OM垂直于直线xy20时，|OM|最小，故|OM|的最小值是点O到直线xy20的距离，即|OM|的最小值是.三、解答题12.设x，y满足求zxy的取值范围.解作出约束条件表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，zxy表示直线y
6、xz过可行域时，在y轴上的截距，当目标函数平移至过可行域内的A点时，z有最小值.联立解得A(2,0).zmin2，z无最大值.xy2，).13.若x，y满足约束条件z2xy的最大值为8，求实数a的值.解将目标函数变形为y2xz，当z取最大值时，直线y2xz在y轴上的截距最大，易知直线xy50与2xy10的交点(2,3)不能使得目标函数取得最大值8.因为直线ax2y10恒过定点，所以要使目标函数能取到最大值，需1，即2a，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，故目标函数在B处取得最大值，代入目标函数得28，解得a1.14.若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最
7、小值是()A. B. C. D.答案B解析画出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，由得A(1,2)，由得B(2,1).由题意可知当斜率为1的两条直线分别过点A和点B时，阴影部分夹在这两条直线之间，且与这两条直线有公共点，所以这两条直线为满足条件的距离最小的一对平行直线，又AB垂直于平行直线，即|AB|.故选B.15.设不等式组所表示的平面区域为D，求D中整点的个数.解满足约束条件的可行域为如图所示的三角形及其内部，不包括y轴部分，易得A(3,0)，当x1时，由y50x150100，知当x1时，可行域内有101个整点，当x2时，由y50215050，知当x2时，可行域内有51个整点，当x3时，y5031500，知当x3时可行域内有1个整点，故共有101511153个整点.