1、3.2基本不等式与最大(小)值一、选择题1.若a0，则代数式a()A.有最小值10B.有最大值10C.没有最小值D.既没有最大值也没有最小值答案A2.已知0x，则3x(13x)取最大值时x的值是()A. B. C. D.答案C解析0x，013x1)在xt处取得最小值，则t等于()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析yxx11213，当且仅当x1，即x2时，等号成立.5.已知x1，y1且lg xlg y4，则lg xlg y的最大值是()A.4 B.2 C.1 D.答案A解析x1，y1，lg x0，lg y0，lg xlg y24，当且仅当lg xlg y2，即xy100时取等号.6.已知点
2、P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x4y的最小值为()A.2 B.4 C.16 D.不存在答案B解析点P(x，y)在直线AB上，x2y3，2x4y224.当且仅当2x4y，即x，y时，等号成立.7.已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A. B.4 C. D.5答案C解析ab2，1.2，故y的最小值为.8.已知直线axbyc10(b，c0)经过圆C：x2y22y50的圆心，则的最小值是()A.9 B.8 C.4 D.2答案A解析将圆C：x2y22y50化成标准方程，得x2(y1)26，所以圆心为C(0,1).因为直线axbyc10经过圆心C，所以a0b1c10，
3、即bc1.因此(bc)5.因为b0，c0，所以24，当且仅当时等号成立.由此可得b2c且bc1，即b，c时，取得最小值9.二、填空题9.周长为1的直角三角形面积的最大值为_.答案解析设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，则1ab2，解得ab，当且仅当ab时取等号，所以直角三角形的面积Sab，即S的最大值为.10.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_.答案20解析总运费与总存储费用之和f(x)4x44x2160，当且仅当4x，即x20时取等号.11.设0x2，则函数y的最大值为_.答案4解析
4、0x2，03x20，y4，当且仅当3x83x，即x时，取等号.当x时，y有最大值4.三、解答题12.(1)若x0，求f(x)3x的最小值；(2)若x0，由基本不等式得f(x)3x2212.当且仅当3x时，即x2时，f(x)取最小值12.(2)x0，则f(x)(3x)212，即f(x)12，当且仅当3x时，即x2时，f(x)取最大值12.13.某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层4 000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为x(x12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)3 00050x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房
5、应建为多少层？每平方米的平均综合费用的最小值是多少？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)解设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，依题意得f(x)Q(x)50x3 000(x12，xN)，则f(x)50x3 00023 0005 000(元).当且仅当50x，即x20时，上式取等号，所以当x20时，f(x)取得最小值5 000 元.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用的最小值为5 000元.14.已知a0，b0，则2的最小值是()A.2 B.2 C.4 D.5答案C解析a0，b0，22244，当且仅当ab1时，等号同时成立.15.设x1，求函数y最小值.解x1，x10，设x1t0，则xt1，于是有yt5259，当且仅当t，即t2时取“”，此时x1.当x1时，函数y取得最小值9.