1、2三角形中的几何计算基础过关1.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2bcos C，则此三角形一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形解析因为a2bcos C，所以由余弦定理得：a2b，整理得b2c2，则此三角形一定是等腰三角形.答案C2.在ABC中，已知C60，b4，则BC边上的高等于()A. B.2 C.4 D.6解析BC边上的高等于bsin C4sin 606.答案D3.在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2b2bc，sin C2sin B，则A()A.30 B.60 C.120 D.150解析由sin C2s
2、in B可得c2b，由余弦定理得cos A，所以A30，故选A.答案A4.在ABC中，若AB3，ABC75，ACB60，则BC等于_.解析BAC180607545，由正弦定理得，BC.答案5.如图，若圆内接四边形的边长依次为25，39，52和60，则这个圆的直径长度为_.解析由余弦定理得BD239252223952cos C，BD225260222560cos A，AC180，cos Ccos A，(392252)(602522)23952cos A22560cos A0，cos A0.0A180，A90，BD2392522652，BD65.答案656.在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C
3、的对边，且4sin2cos 2A.(1)求角A的度数；(2)若a，bc3，求b和c的值.解(1)由4sin2cos 2A及ABC180，得21cos(BC)2cos2A1.整理得4cos2A4cos A10，cos A，又A为三角形内角，A60.(2)由余弦定理得cos A，得b2c23bc.即(bc)233bc.由bc3，bc2.由得或7.在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A3cos(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S5，b5，求sin Bsin C的值.解(1)由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A
4、1)(cos A2)0，解得cos A或cos A2(舍去).因为0A，所以A.(2)由Sbcsin Abcbc5，得bc20.又b5，所以c4.由余弦定理，得a2b2c22bccos A25162021，故a.又由正弦定理，得sin Bsin Csin Asin Asin2A.能力提升8.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c22a22b2ab，则ABC是()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形解析2c22a22b2ab，a2b2c2ab，cos C0.ABC是钝角三角形.故选A.答案A9.在ABC中，a2，A30，C45，则ABC的面积S是()A
5、. B.1C.(1) D.2解析由正弦定理，得，c2，SABCacsin B22sin 1051.答案B10.ABC中，a(sin Bsin C)b(sin Csin A)c(sin Asin B)_.解析在ABC中，2R，所以sin A，sin B，sin C，所以，原式0.答案011.平行四边形两条邻边的长分别是4cm和4cm，它们的夹角是45，则这个平行四边形的两条对角线的长与它的面积分别为_.解析如图所示，在平行四边形ABCD中，AB4cm，AD4cm；BAD45.在ABD中，由余弦定理，得BD4(cm).在ABC中，AB4cm，BC4cm，ABC18045135.由余弦定理，得AC4
6、(cm).SABCDABADsin 4548(cm2).所以平行四边形的两条对角线的长分别为4cm和4cm，面积是48 cm2.答案4cm，4cm，48 cm212.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC面积为2，求b.解(1)由题设及ABC得sin B8sin2，故sin B4(1cos B).上式两边平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，cos B.(2)由cos B得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，则ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos
7、 B(ac)22ac(1cos B)3624.所以b2.创新突破13.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB2，BC6，CDDA4，求四边形ABCD的面积.解如图所示，连结BD，则有四边形ABCD的面积SSABDSCDBABADsin ABCCDsin C.AC180，sin Asin C.S(ABADBCCD)sin A (2464)sin A 16sin A.在ABD中，由余弦定理得：BD2AB2AD22ABADcos A 2242224cos A 2016cos A，在CDB中，BD2CB2CD22CBCDcos C 6242264cos C 5248 cos C，2016cos A5248cos C，cos Ccos A，64cos A32，cos A，A120，S16sin 1208.