1、4.2简单线性规划学习目标1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法.引例已知x，y满足条件该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，求2x3y的最大值.以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念.知识点一线性约束条件及目标函数1.在上述问题中，不等式组是一组对变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件.2.在上述问题中，是要研究的目标，称为目标函数.因为它是关于变量x，y的一次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数.知识点二可行解、可行域和最优解满足线性约束条件的解(x，y)
2、叫作可行解.由所有可行解组成的集合叫作可行域.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫作线性规划问题的最优解.在上述问题的图中，阴影部分叫可行域，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解，其中能使式取最大值的可行解称为最优解.知识点三线性规划问题与图解法一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.在确定了线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求”.(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线axby0(目标函数为zaxby)；(2)移：平行移动直线axby0，确定使zaxby取得最大值或最小值的点；(3)求：求出取得
3、最大值或最小值时的点的坐标(解方程组)及最大值或最小值.1.可行解是可行域的一个元素.()2.最优解一定是可行解.()3.目标函数zaxby中，z为在y轴上的截距.()4.当直线zaxby在y轴上的截距最大时，z也最大.()题型一求线性目标函数的最值例1已知变量x，y满足约束条件则z3xy的最大值为()A.12 B.11 C.3 D.1答案B解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可.如图中的阴影部分(含边界)，即为约束条件对应的可行域，当直线y3xz经过点A时，z取得最大值.由此时z3xy11.反思感悟求目标函数zaxby(b0)最值的思路
4、(1)化：把目标函数zaxby化为斜截式yx.(2)定：zaxby中表示直线yx在y轴上的截距.(3)找：把线性目标函数看成直线系，把目标函数表示的直线yx平行移动，越向上平移越大，若b0，则对应z越大，若b0，则对应z越小.跟踪训练1若变量x，y满足约束条件则z3xy的最小值为_.答案1解析由题意，作出约束条件组成的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，当目标函数z3xy，即y3xz过点(0,1)时z取最小值1.题型二已知目标函数的最值(最优解)求参数值(范围)例2已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a等于()A.3 B.2 C.2 D.3答案B解析由约束条件可画出可行域如图中阴影
5、部分(含边界)所示，解得A(2,0)，B(1,1)，若直线zaxy过点A(2,0)时取最大值4，则a2，经验证符合条件；若过点B(1,1)时取最大值4，则a3，而若a3，则z3xy最大值为6(此时A(2,0)是最大值)，不符合题意.(也可直接代入排除).引申探究已知x，y满足约束条件若目标函数zaxy的最大值有无数个最优解，求实数a的值.解约束条件所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，由zaxy，得yaxz.当a0时，最优解只有一个，过A(1,1)时取得最大值；当a0，yaxz与xy2重合时，最优解有无数个，此时a1；当a0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a的取值范围.解依据约束条件，
6、画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示.直线x2y30的斜率k1，目标函数zaxy(a0)对应直线的斜率k2a，若符合题意，则需k1k2，即a，得a.非线性目标函数的最值问题典例设实数x，y满足约束条件求(1)x2y2的最小值；(2)的最大值.解如图，画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)，(1)令ux2y2，其几何意义是可行域内任一点(x，y)与原点的距离的平方.过原点向直线x2y40作垂线y2x，则垂足为的解，即，又由得C，所以垂足在线段AC的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|，所以，x2y2的最小值为.(2)令u，某几何意义是可行域内任一点(x，y)与原点相
7、连的直线l的斜率，设为u，即u.由图形可知，当直线l经过可行域内点C时，u最大，由(1)知C，所以umax，所以的最大值为.引申探究1.若条件不变，求x2y24x3y7的最小值.解x2y24x3y7(x2)22，令u(x2)22，则u的几何意义为点M到可行域内的点(x，y)的最小距离的平方.由图形知，最小距离为|MC|3，umin9，x2y24x3y7的最小值为9.2.若条件不变，求的最大值.解令k，则k的几何意义为过点N(1，2)和可行域内的点(x，y)的斜率的最大值.由图形可知，NC的斜率最大.kmax.素养评析(1)非线性目标函数的最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间
8、的距离(或平方).点到直线的距离，过已知两点的直线的斜率等.常见代数式的几何意义主要有：表示点(x，y)与点(a，b)的距离；表示点(x，y)与原点(0,0)的距离.表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率；表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率.这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键.(2)借助于几何图形，利用数形结合的思想解决问题，是直观想象的数学核心素养的具体体现.1.若变量x，y满足约束条件则x2y的最大值是()A. B.0 C. D.答案C解析画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示.设zx2y，即yxz，平行移动直线yxz，当直线yx过点B时，z取最大值，
9、所以(x2y)max.2.若实数x，y满足约束条件则z2xy的取值范围是()A.3,4 B.3,12 C.3,9 D.4,9答案C解析画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线2xy0，结合图像，平移直线2xy0得，在点A(3,3)处目标函数取最大值9，在点B(1,1)处目标函数取最小值3，故选C.3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数zxay取得最小值的最优解有无数个，则a的值为()A.3 B.3 C.1 D.1答案A解析由题易知a0，若，则a3，经检验符合题意.若1，则a1，不符合题意，舍去.a3.4.设x，y满足约束条件则z2xy的最大值为
10、_.答案11解析如图阴影部分(含边界)为不等式组表示的平面区域，当直线z2xy过A点时，z取得最大值，由得A(3,5).zmax23511.5.已知变量x，y满足其中k0，若zx3y的最大值为12，则k的值为_.答案9解析作不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，由图可知，当目标直线过A时取得最大值，此时解得A(3,3)，代入2xyk0，得k9.1.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l；(3)平移将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.2.作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解.3.在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.