1、3基本不等式3.1基本不等式学习目标1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.知识点一基本不等式1.对于任意实数a，b，都有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立.特别地，如果a0，b0，我们用，分别代替a，b，可得ab2，当且仅当ab时，等号成立，通常我们把上式写成(a0，b0).2.算术平均数与几何平均数：设a，b为非负数，则称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数.3.基本不等式：(a0，b0).即两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当且仅当a，b两数相等时两者相等.思考与2ab是等价的吗？答
2、案不等价，前者的条件为a0，b0，后者的条件为a，bR.知识点二基本不等式及其常见推论(a0，b0).当a，b赋予不同的值时，可得以下推论：(1)ab2(a，bR)；(2)2(a，b同号)；(3)a2b2c2abbcca(a，b，cR).1.对于任意a，bR，a2b22ab，ab2均成立.()2.()3.若a0，b0，则ab恒成立.()4.22.()题型一常见推论的证明例1证明不等式a2b22ab(a，bR).证明a2b22ab(ab)20，a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立.引申探究证明不等式2(a，bR).证明由例1，得a2b22ab，2(a2b2)a2b22ab，两边同除以4，即得
3、2，当且仅当ab时，等号成立.反思感悟作差法与不等式性质是证明中常用的方法.跟踪训练1已知a，b，c为任意的实数，求证：a2b2c2abbcca.证明a2b22ab；b2c22bc；c2a22ca，2(a2b2c2)2(abbcca)，即a2b2c2abbcca，当且仅当abc时，等号成立.题型二用基本不等式比较大小例2已知a，b(0,1)，且ab，那么ab,2，a2b2,2ab中的最大者为_.答案ab解析a，b(0,1)且ab，ab2，a2b22ab，又aa2，bb2，aba2b2，最大者为ab.反思感悟应用基本不等式比较大小的两个技巧(1)放缩：通过不等式公式可以对式子放缩，从而达到证明不
4、等式的目的，此种情况要注意不等式的不等号方向，和其适用条件，在实际应用中通常与不等式的性质一起设计题目.(2)“”成立的条件：当多次应用基本不等式时，一定要看各式子在用基本不等式时“”成立的条件是否一致.跟踪训练2设ab1，P，Q，Rlg ，则P，Q，R的大小关系是()A.RPQ B.PQRC.QPR D.PR0，lg lg(lg alg b)，即RQ.综合，有PQ0，0，22，即2，当且仅当xy时，等号成立.(2)x，y都是正数，xy20，x2y220，x3y320.(xy)(x2y2)(x3y3)2228x3y3，即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3，当且仅当xy时，等号成立.反思
5、感悟利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.(2)注意事项多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.跟踪训练3已知a，b，c都是正实数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc.证明a，b，c都是正实数，ab20，bc20，ca20.(ab)(bc)(ca)2228abc.即(ab)(bc)(ca)8abc，当
6、且仅当abc时，等号成立.条件不等式的证明典例(1)当x0，a0时，证明x2；(2)当x1时，证明9.证明(1)x0，a0，0.由基本不等式可知，x22.当且仅当x时，等号成立.(2)x15.x1，x10.x124，x159，即9.当且仅当x1时，等号成立.素养评析逻辑推理主要有两类：从特殊到一般，从一般到特殊，演绎就是从一般到特殊的一种推理形式.在本例中，“一般”指基本不等式.当我们对a，b赋予特殊值.如令ax，b，就有x2；再令中的xx1，a4，就有x12.基本不等式的应用关键就是给a，b赋予什么样的值.1.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是()A.lg(x21)lg(2x) B.
7、x212xC.1 D.x2答案C解析对于A，当x0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x1时，x212x，故B不成立；对于D，当x B.2，故.3.若0ab B.baC.ba D.ba答案C解析0aab，b.ba0，aba2，a.故ba.4.已知ab，b0，且ab2，则()A.ab B.abC.a2b22 D.a2b23答案C解析由ab2及a2b22ab，得2(a2b2)(ab)2，即a2b22.5.设a0，b0，给出下列不等式：a21a；4；(ab)4；a296a.其中恒成立的是_.(填序号)答案解析由于a21a20，故恒成立；由于a2，b2，4，当且仅当ab1时，等号成立，故恒成立；由于ab2，2，故(ab)4，当且仅当ab时，等号成立，故恒成立；当a3时，a296a，故不恒成立.综上，恒成立的是.1.两个不等式a2b22ab与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取等号”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当ab时，；另一方面：当时，也有ab.2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.