1、第2课时等比数列的性质学习目标1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法知识点一等比数列的函数特性对于等比数列an，ana1qn1，当q0时，情况如下；a1a10a10q的范围0q10q1an的单调性递减常数列递增递增常数列递减知识点二等比数列常见性质(1)对称性：a1ana2an1a3an2amanm1(nm且n，mN)；(2)若klmn(k，l，m，nN)，则akalaman；(3)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列；(4)在等比数列an中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或 )的等比数列；(5)若
2、an是等比数列，公比为q，则数列an(0)，a都是等比数列，且公比分别是q，q2.(6)若an，bn是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么anbn与也都是等比数列，公比分别为pq和.1anamqnm(n，mN)，当m1时，就是ana1qn1.()2等比数列an中，若公比q0且a1(q1)0.跟踪训练1(1)在等比数列an中，a34，a716，则a5_；(2)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_答案(1)8(2)64解析(1)q73q44，q22.a5a3q534q2428.(2)设该等比数列an的公比为q，即解得a1a2an(3)(2)(n4) ，当n3
3、或4时，取得最小值6，此时 取得最大值26，a1a2an的最大值为64.题型二等比数列的性质例2(1)在等比数列an中，已知a4a7512，a3a8124，且公比q为整数，求数列an的通项公式解在等比数列an中，由a4a7512得a3a8512，又a3a8124，解得a34，a8128或a3128，a84，因为公比q为整数，所以q2，故an4(2)n3(2)n1.(2)在等比数列an中，已知a4a72，a5a68，求a1a10.解因为an是等比数列，所以a5a6a4a78，又a4a72，解得a44，a72或a42，a74.当a44，a72时，q3，a1a10a7q37；当a42，a74时，q3
4、2，a1a10a7q37，故a1a107.反思感悟结合等比数列的性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果跟踪训练2已知数列an为等比数列(1)若an0，且a2a42a3a5a4a636，求a3a5的值；(2)若数列an的前三项和为168，a2a542，求a5，a7的等比中项解(1)a2a42a3a5a4a636，a2a3a5a36，即(a3a5)236，又an0，a3a56.(2)设等比数列an的公比为q，a2a542，q1.由已知，得解得若G是a5，a7的等比中项，则有G2a5a7a1q4a1q6aq10962109，a5，a7的等比中项为3.等比数列的实际应用典例某人买了一辆价值13.5万
5、元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值(1)用一个式子表示n(nN)年后这辆车的价值；(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能卖得多少万元？(保留一位小数)解(1)设n年后，车的价值为an(万元)，由题意得：a113.5(110%)，a213.5(110%)2，a313.5(110%)3，n年后车的价值为an13.50.9n.(2)由(1)得a413.50.948.9(万元)，用满4年时卖掉这辆车，大概能卖得8.9万元素养评析(1)等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题(2)发现和提出问题，建立和求解模型，是数学建模
6、的核心素养的体现.1若an，bn都是等比数列，则下列数列中仍是等比数列的是()Aanbn BanbnCanbn Dan5答案C解析两个等比数列的积构成的数列仍是等比数列故选C.2等比数列an中，a44，则a2a6等于()A4 B8 C16 D32答案C解析a2a6a16，故选C.3在等比数列an中，a23，a581，则公比q为()A2 B3 C9 D27答案B解析由a5a2q3，得q327，所以q3.4在等比数列an中，an0，且a1a1027，则log3a2log3a9等于()A9 B6 C3 D2答案C解析因为a2a9a1a1027，所以log3a2log3a9log3273.5在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为_答案8解析设这8个数组成的等比数列为an，则a11，a82.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7(a2a7)(a3a6)(a4a5)(a1a8)3238.1解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法2所谓通式通法，指应用通项公式，等差数列的前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量3巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要