1、12余弦定理第1课时余弦定理及其直接应用学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题知识点一余弦定理余弦定理的公式表达及语言叙述余弦定理公式表达a2b2c22bccos A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍推论cos A，cos B，cos C特别提醒：余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的
2、三个量，就可求得第四个量知识点二余弦定理的应用利用余弦定理主要解答如下三种求解三角形问题：已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两角；已知三角形的三边，求三角形的三个角；已知三角形的两边及其中一边的对角，求三角形的第三边和其他两个角1勾股定理是余弦定理的特例()2余弦定理每个公式中均涉及三角形的四个元素()3在ABC中，已知两边及其夹角时，ABC不一定唯一()4在ABC中，三边一角任意给出三个，可求其余一个()题型一已知两边及其夹角解三角形例1在ABC中，a1，b2，cos C，则c_；sin A_.答案2解析根据余弦定理，得c2a2b22abcos C12222124，解得c2
3、.由a1，b2，c2，得cos A，所以sin A.反思感悟已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边跟踪训练1在ABC中，已知a2，b2，C15，求A.解由余弦定理，得c2a2b22abcos C84，所以c.由正弦定理，得sin A，因为ba，所以BA，所以A为锐角，所以A30.题型二已知三边解三角形例2在ABC中，已知a2，b62，c4，求A，B，C.解根据余弦定理，得cos A.A(0，)，A，cos C，C(0，)，C.BAC，A，B，C.反思感悟已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cos A，cos B，cos C先求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理跟踪训
4、练2在ABC中，已知a7，b3，c5，求三角形的最大角和sin C.解因为acb，所以A为最大角，cos A.因为0Abc，C为最小角且C为锐角，由余弦定理，得cos C.又C为锐角，C.3在ABC中，已知c1，b2，A60，则a等于()A. B3 C. D5答案A解析由余弦定理得a2b2c22bcos A2212221cos 603，所以a.4在ABC中，若c2acos B，则ABC的形状为()A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D锐角三角形答案B解析由余弦定理得cos B，则c2acos B，解得ab，所以ABC的形状为等腰三角形5在ABC中，若b1，c，C，则a_.答案1解析c2a2b22abcos C，()2a2122a1cos，a2a20，即(a2)(a1)0，a1或a2(舍去)，a1.1利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题(1)已知两边和夹角，解三角形(2)已知三边求三角形的任意一角2余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角