1、12数列的函数特性学习目标1.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数.2.了解数列的几种表示方法.3.能从函数的观点研究数列知识点一数列的表示方法1图像法数列可以看作是一个定义域为正整数集N或它的有限子集1,2,3，n的特殊函数，数列的图像是由以(n，an)为坐标的一系列孤立的点构成的(即散点图)图像法的优点：能够直观地表示出随着项数的变化，相应项的变化趋势2列表法列表法就是用表格的形式表示项数n和项an的变化关系列表法的优点：不需要做任何计算就可以直接看出与项数相对应的项知识点二数列的增减性1递增数列：一个数列an，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an1an(nN)，那么这个数列
2、叫作递增数列2递减数列：一个数列an，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即an14(nN)时，数列an为递增数列反思感悟数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图像，因为它的定义域是正整数集N(或它的有限子集1,2,3，n)，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的跟踪训练1某种练习本单价5元，小王买了n本(nN，n5)该练习本，记an为买n本的总价，试用三种方法来表示数列an解通项公式法：an5n(nN，n5)列表法：n12345an510152025图像法：题型二数
3、列增减性的判断例2已知数列an的通项公式an(nN)，试判断该数列的增减性，并说明理由解an为递减数列，理由如下：an1an.f(x)2在1，)上是减少的，当n1时，f(n)f(1)10，n210，an1an0，f(2)30，f(3)3an，当n3，nN时，an1an，即a1a2a4a5.数列an的前3项是递增的，从第3项往后是递减的题型三已知数列的增减性求参数范围例3已知数列an的通项公式为ann2kn(nN)，若数列an是递增数列，求实数k的取值范围解由an是递增数列，得an1an(n1)2k(n1)(n2kn)2n1k0对于任意nN恒成立f(x)2x1k在1，)上是增加的，2n1k0对任
4、意nN恒成立等价于211k0，k3，实数k的取值范围是(3，)反思感悟实际上，当3k0，k0.求数列的最大、最小项典例已知数列an的通项an(n1)n(nN)，试问数列an有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由解设an为最大项，则即解得9n10.又nN，n9或n10.该数列中有最大项，为第9、10项，且a9a10109.引申探究将本例中的“an(n1)n”换为“an2n29n3”，如何求an中的最大项解由an2n29n322.n为正整数，当n2时，an取得最大值，a222292313.即数列2n29n3的最大项为a213.素养评析(1)求数列的最值常用的方法根据数列的增减
5、性求最值；设第n项an最大(或最小)，则，从而确定出哪一项为数列的最值(2)本例中，理解运算对象，掌握运算法则，选择运算方法，求解运算结果，体现了数学运算的数学核心素养.1已知an3n2，则数列an的图像是()A一条直线 B一条抛物线C一个圆 D一群孤立的点答案D解析an3n2，nN，数列an的图像是一群孤立的点2在数列an中，ann，则an是()A递增数列 B递减数列 C常数列 D以上都不是答案A解析an1an(n1)n10，数列an是递增数列3已知数列an的通项公式为ann29n100，则其最小项是()A第4项 B第5项C第6项 D第4项或第5项答案D解析f(x)x29x100的对称轴为x
6、，且开口向上ann29n100的最小项是第4项或第5项4若数列an为递减数列，则an的通项公式可能为_(填序号)an2n3；ann23n1；an；an(1)n.答案5数列xn中，若x11，xn11，则x2 020_.答案解析x11，x2，x31，数列xn的周期为2，x2 020x2.1an与an是两种不同的表示，an表示数列a1，a2，an，是数列的一种简记形式而an只表示数列an的第n项，an与an是“个体”与“整体”的从属关系2数列的表示方法：(1)图像法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法3数列的单调性是通过比较an中任意相邻两项an和an1的大小来判定的某些数列的最大项或最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决4数列是特殊函数，一定要注意其定义域是N(或它的有限子集)