1、2一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法学习目标1.了解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图像法解一元二次不等式.3.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.知识点一一元二次不等式的概念(1)形如ax2bxc0(0)或ax2bxc000)的图像ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x10 (a0)的解集x|xx2Rax2bxc0)的解集x|x1x0或ax2bxc0)；(2)计算b24ac，以确定一元二次方程ax2bxc0是否有解；(3)有根求根；(4)根据图像写出不等式的解集.1.mx25x0，即求横坐标x取哪些值时，函数yax2bxc的图像在x轴上方.()3.
2、解不等式的结果要写成集合形式的原因是集合的元素具有确定性，可以严谨地界定哪些元素是解，哪些不是.()题型一一元二次不等式的解法命题角度1二次项系数大于0例1求不等式4x24x10的解集.解因为(4)24410，所以方程4x24x10的解是x1x2，所以原不等式的解集为.反思感悟当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像.跟踪训练1求不等式2x23x20的解集.解2x23x20的两解为x1，x22，且a20，不等式2x23x20的解集是.命题角度2二次项系数小于0例2解不等式x22x30
3、.解不等式可化为x22x30.因为(2)24382的解集.解不等式可化为3x26x20，x11，x21，不等式3x26x2的解集是.题型二“三个二次”间对应关系的应用例3已知关于x的不等式x2axb0的解集为x|1x0的解集.解由不等式x2axb0的解集为x|1x0，即2x23x10.由2x23x10，解得x1.bx2ax10的解集为.反思感悟给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图像的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.跟踪训练3已知不等式ax2bx20的解集为x|1x0，且1,2是方程ax2bx20的两实根.由根与系数的关系，知解得方法二把x1,2
4、分别代入方程ax2bx20中，得解得含参数的一元二次不等式的解法典例解不等式(x1)(ax)0.解原不等式可化为(x1)(xa)1时，不等式的解为1xa，当a1时，不等式可化为(x1)20，无解，当a1时，不等式的解为ax1时，不等式的解集为x|1xa；当a1时，不等式的解集为x|ax1；当a1时，不等式的解集为.引申探究1.解关于x的不等式x2ax2a20(aR).解原不等式转化为(x2a)(xa)0时，x1x2，不等式的解集为x|ax2a；(2)当a0时，原不等式化为x20，无解；(3)当a0时，x1x2，不等式的解集为x|2ax0时，原不等式的解集为x|ax2a；a0时，原不等式的解集为
5、；a0时，原不等式的解集为x|2axa.2.解关于x的不等式ax2(a1)x10.解当a0时，不等式可化为(x1)0，a0，1，不等式的解集为.当a0时，不等式可化为x10，解集为x|x1.当a0时，不等式可化为(x1)0.当0a1时，1，不等式的解集为.当a1时，不等式的解集为.当a1时，1，不等式的解集为.综上，当a0时，解集为；当a0时，解集为x|x1；当0a0的解集是()A. B.C. D.答案C解析6x27x30，即(3x1)(2x3)0，所以x或x，故选C.2.不等式x23x40的解集为()A.x|1x4或x1或x4 D.x|4x0.方程x23x40的两根为x11，x24，由函数y
6、x23x4的图像可知原不等式的解集为x|x4或x0的解集是()A. B.x|x1C.x|x0，得(2x1)(x1)0，解得x1或x，不等式的解集为.4.若不等式ax28ax210的解集是x|7x1，那么a的值是()A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析由题意可知7和1为方程ax28ax210的两个根.7(1)，故a3.5.不等式x2x20的解集为_.答案x|2x1解析由x2x20，得2x1，故其解集为x|2x0(a0)或ax2bxc0)；求方程ax2bxc0(a0)的根，并画出对应函数yax2bxc图像的简图；由图像得出不等式的解集.(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.当m0，则可得解集为x|xn或xm；若(xm)(xn)0，则可得x|mxn.有口诀如下：大于取两边，小于取中间.2.解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图像确定解集是R还是.在此过程中，因为参数的存在导致二次函数图像的开口方向、判别式正负、两根大小不确定，为了确定应展开讨论.3.由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.