1、22等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和公式学习目标1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中任意三个求另外两个.3.能用an与Sn的关系求an.知识点一等差数列前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式SnSnna1d知识点二a1，d，n，an，Sn知三求二(1)在等差数列an中，ana1(n1)d，Sn或Snna1d.两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和(2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“
2、知三求二”知识点三数列中an与Sn的关系 对于一般数列an，设其前n项和为Sn，则有an特别提醒：(1)这一关系对任何数列都适用(2)若在由anSnSn1(n2)求得的通项公式中，令n1求得a1与利用a1S1求得的a1相同，则说明anSnSn1(n2)所得通项公式也适合n1的情况，数列的通项公式用anSnSn1表示若在由anSnSn1(n2)求得的通项公式中，令n1求得的a1与利用a1S1求得的a1不相同，则说明anSnSn1(n2)所得通项公式不适合n1的情况，数列的通项公式采用分段形式1若数列an的前n项和为Sn，则S1a1.()2若数列an的前n项和为Sn，则anSnSn1，nN.()3
3、等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法()4123100.()题型一等差数列基本量的计算例1在等差数列an中：(1)已知a5a1058，a4a950，求S10；(2)已知S742，Sn510，an345，求n.解(1)方法一由已知条件得解得S1010a1d1034210.方法二由已知条件得a1a1042，S10542210.(2)S77a442，a46.Sn510.n20.反思感悟(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二跟踪训练1在等差数列an中，(1)a1105，an994，d
4、7，求Sn；(2)a15，d3，求S20；(3)d，n37，Sn629，求a1及an.解(1)由ana1(n1)d994，且a1105，d7，即994105(n1)7，解得n128.所以Sn70 336.(2)由Snna1d，得S202053670.(3)由Snna1d，得37a1629，得a111，又Sn629，得an23.题型二由Sn与an的关系求an例2已知数列an的前n项和为Snn2n，求这个数列的通项公式这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解根据Sna1a2an1an可知，Sn1a1a2an1(n2，nN)，当n2时，anSnSn1n2n2n，当n1时，a1S11
5、21，也满足式数列an的通项公式为an2n(nN)an1an2(n1)2，故数列an是以为首项，2为公差的等差数列引申探究若将本例中前n项和改为Snn2n1，求通项公式解当n2时，anSnSn12n.当n1时，a1S1121不符合式an反思感悟已知前n项和Sn求通项an，先由n1时，a1S1求得a1，再由n2时，anSnSn1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示，若不符合，则用分段形式表示跟踪训练2已知数列an的前n项和Sn2nt(t为常数)，求an.解当n1时，a12t，当n2时，anSnSn12n2n12n1，把n1代入an2n1，得a11，所以当t1时，a12
6、t1符合an2n1，即an2n1，nN；当t1时，a12t不符合an2n1，所以an等差数列前n项和公式的实际应用典例某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解设每次交款数额依次为a1，a2，a20，则a1501 0001%60，a250(1 00050)1%59.5，a1050(1 000950)1%55.5，即第10个月应付款55.5元由于an是以60为首项，以0.5为
7、公差的等差数列，所以有S20201 105，即全部付清后实际付款1 1051501 255(元)素养评析(1)建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数(2)在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型，这是数学建模的核心素养.1若等差数列an的前5项和S525，且a23，则a7等于()A12 B13 C14 D15答案B解析S55a325，a35，da3a2532，a7a25d31013.故选B.2已知等差数列an满足a11，am99，d2，则其前m项和Sm等于()A2 300 B2 400 C2 600 D2 500答案D解析由ama1(m1
8、)d，得991(m1)2，解得m50，所以S5050122 500.3记等差数列的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d等于()A2 B3 C6 D7答案B解析方法一由解得d3.方法二由S4S2a3a4a12da22dS24d，所以20444d，解得d3.4在一个等差数列中，已知a1010，则S19_.答案190解析S1919a10 1910190.5在等差数列an中，a610，S55，求a8和S8.解方法一设数列an的首项为a1，公差为d，由已知，得解得a8a17d57316.S8(a1a8)(516)44.方法二由已知，得S6S5a651015，S615，a15，d3，a8a17d57316，S844.1求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到2等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若mnpq，则anamapaq；若mn2p，则anam2ap(n，m，p，qN)3由Sn与an的关系求an主要使用an