1、2019-2020学年广东省佛山一中高二（上）第一次段考数学试卷（9月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）如果ab0，那么下列不等式成立的是（）ABabb2Caba2D|a|b|2（5分）m，n，l为不重合的直线，为不重合的平面，则下列说法正确的是（）Aml，nl，则mnB，则Cm，n，则mnD，则3（5分）设Sn为正项等比数列an的前n项和，若S1+3S2S30，且a11则a4（）A9B18C21D274（5分）设为锐角，若cos，则sin的值为（）ABCD5（5分）已知水平放置的ABC的直观图ABC（斜二测画
2、法）是边长为a的正三角形，则原ABC的面积为（）Aa2Ba2Ca2Da26（5分）如图，P为正方体ABCDA1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）ABCD7（5分）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（单位：cm），则该阳马的外接球的体积为（）A100cm3BC400cm3D8（5分）我国古代数学名著数学九章中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为
3、5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1丈等于10尺）（）A29尺B24尺C26尺D30尺9（5分）ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B30，ABC的面积为，那么b等于（）ABCD10（5分）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）：面ABCD为矩形，棱EFAB若此几何体中，AB4，EF2，ADE和BCF都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（）ABCD11（5分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：AFGC；BD与GC成异面直线
4、且夹角为60；BDMN；BG与平面ABCD所成的角为45其中正确的个数是（）A1B2C3D412（5分）如图，矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE，若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A|BM|是定值B点M在某个球面上运动C存在某个位置，使DEA1CD存在某个位置，使MB平面A1DE二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若S832，则a2+2a5+a6 14（5分）已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为60cm2，则此圆锥的体积为 cm315（5分）设x与y均
5、为正数且+1，则x+2y的最小值为 16（5分）棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosAacosC+ccosA（1）求角A的大小；（2）若a3，ABC的周长为8，求ABC的面积18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，E为PA的中点，F为BC的中点，底面ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O求证：（1）平面EFO平面PCD；（2）平面PAC平面P
6、BD19（12分）已知关于x的不等式ax2（a+2）x+20（1）当a1时，解不等式；（2）当aR时，解不等式20（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，BAC90，ACABAA1，E是BC的中点（1）求证：AEB1C；（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；（3）若G为C1C中点，求二面角CAGE的正切值21（12分）Sn为数列an的前n项和，已知an0，（）求an；（）记数列的前n项和为Tn，若对于任意的nN*，tTnan+11恒成立，求实数t的取值范围22（12分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB平面ABCD，ABAP3，ADPB2，E为线
7、段AB上一点，且AE：EB7：2，点F、G分别为线段PA、PD的中点（1）求证：PE平面ABCD；（2）若平面EFG将四棱锥PABCD分成左右两部分，求这两部分的体积之比2019-2020学年广东省佛山一中高二（上）第一次段考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）如果ab0，那么下列不等式成立的是（）ABabb2Caba2D|a|b|【分析】利用不等式的基本性质即可得出【解答】解：ab0，ab0，ab0，即故选：A【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题2（5分）m，n，l为不
8、重合的直线，为不重合的平面，则下列说法正确的是（）Aml，nl，则mnB，则Cm，n，则mnD，则【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论【解答】解：由ml，nl，在同一个平面可得mn，在空间不成立，故错误；若，则与可能平行与可能相交，故错误；m，n，则m、n可能平行、相交或异面，故错误；，利用平面与平面平行的性质与判定，可得，正确故选：D【点评】本题考查的知识点是利用空间直线与平面之间的位置关系及平面与平面之间的位置关系判断命题的真假，处理此类问题的关键是熟练掌握线面平行或垂直的判定方法和性质3（5分）设Sn为正项等比数列an的前n项和，若S1+3S2S30，且a11则a4（）A9B18
9、C21D27【分析】设正项等比数列an的公比为q（q0），由已知列式求得q，再由等比数列的通项公式求a4【解答】解：设正项等比数列an的公比为q（q0），由S1+3S2S30，且a11，得1+3（1+q）（1+q+q2）0，即q22q30，解得q3故选：D【点评】本题考查等比数列的通项公式与前n项和，是基础的计算题4（5分）设为锐角，若cos，则sin的值为（）ABCD【分析】利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出【解答】解：为锐角，cos，则sin故选：B【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（5分）已知水平放置的ABC的直观图ABC
10、（斜二测画法）是边长为a的正三角形，则原ABC的面积为（）Aa2Ba2Ca2Da2【分析】根据斜二测法画直观图的步骤，把给出的直观图还原回原图形，然后直接利用三角形的面积公式求解【解答】解：把边长为a的正三角形ABC还原回原三角形如图，过C作CD垂直于x轴于D，因为ABC是边长为a的正三角形，所以，过C作CE平行于x轴交y轴于E，则，所以，C对应的原图形中的点C在平面直角坐标系xoy下的坐标为，即原三角形ABC底边AB上的高为，所以，故选：D【点评】本题考查了斜二测画直观图的方法，运用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图时，在原坐标系下平行于坐标轴或在坐标轴上的线段在新系下仍然平行于坐标轴或
11、在坐标轴上，平行于x轴或在x轴上的长度不变，平行于y轴或在y轴上的，长度变为原来的一半，该类问题有个二级结论，即原平面图形的面积和其直观图的面积比为，此题是基础题6（5分）如图，P为正方体ABCDA1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）ABCD【分析】由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点P、A在各个面上的投影，再把它们连接起来，即，PAC在该正方体各个面上的射影【解答】解：由题意知，P为正方体ABCDA1B1C1D1的中心，则从上向下投影时，点P的影子落在对角线AC上，故PAC在下底面上的射影是线段AC，是第一个图形；当从前向后投影
12、时，点P的影子应落在侧面CDC1D1的中心上，A点的影子落在D上，故故PAC在面CDC1D1上的射影是三角形，是第四个图形；当从左向右投影时，点P的影子应落在侧面BCB1C1的中心上，A点的影子落在B上，故故PAC在面CDC1D1上的射影是三角形，是第四个图形故选：C【点评】本题主要考查了平行投影和空间想象能力，关键是确定投影图得关键点，如顶点等，再一次连接即可得在平面上的投影图，主要依据平行投影的含义和空间想象来完成7（5分）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图
13、所示（单位：cm），则该阳马的外接球的体积为（）A100cm3BC400cm3D【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中PA平面ABCD，PA6，ABCD2，ADBC6，该几何体的外接球的半径为：5该阳马的外接球的体积为：（cm）3故选：B【点评】本题考查了由三视图求几何体的外接球的体积问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键8（5分）我国古代数学名著数学九章中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木
14、长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1丈等于10尺）（）A29尺B24尺C26尺D30尺【分析】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长5210（尺），利用勾股定理，可得结论【解答】解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长5210（尺），因此葛藤长26（尺）故选：C【点评】本题考查旋转体表面上的最短距离问题，考查学生的计算能力，正确运用圆柱的侧面展开图是关键9（5分）ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B
15、30，ABC的面积为，那么b等于（）ABCD【分析】由题意可得2ba+c平方后整理得a2+c24b22ac利用三角形面积可求得ac的值，代入余弦定理可求得b的值【解答】解：a，b，c成等差数列，2ba+c平方得a2+c24b22ac又ABC的面积为，且B30，由SABCacsinBacsin30ac，解得ac6，代入式可得a2+c24b212，由余弦定理cosB解得b24+2，又b为边长，b1+故选：B【点评】本题考查等差数列和三角形的面积，涉及余弦定理的应用，属基础题10（5分）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）：面ABCD为矩形，棱EFAB
16、若此几何体中，AB4，EF2，ADE和BCF都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（）ABCD【分析】利用勾股定理求出梯形ABFE的高，再计算出各个面的面积即可得出表面积【解答】解：过F作FO平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连结PF，过F作FQAB，垂足为Q，连结OQADE和BCF都是边长为2的等边三角形，OP（ABEF）1，PF，OQBC1，OF，FQ，S梯形EFBAS梯形EFCB3，又SBCFSADE，S矩形ABCD428，几何体的表面积S3+88+8故选：B【点评】本题考查了线面距离的计算，多面体表面积计算，属于中档题11（5分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中
17、，有下列四个命题：AFGC；BD与GC成异面直线且夹角为60；BDMN；BG与平面ABCD所成的角为45其中正确的个数是（）A1B2C3D4【分析】将正方体纸盒展开图还原成正方体，数形结合能求出结果【解答】解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，在中，如图知AF与GC异面垂直，故正确；在中，BD与GC成异面直线，连接EB，ED则BMGC，在等边BDM中，BD与BM所成的60角就是异面直线BD与GC所成的角，故正确；在中，BD与MN异面垂直，故错误；在中，GD平面ABCD，所以在RtBDG中，GBD是BG与平面ABCD所成的角，RtBDG不是等腰直角三角形所以BG与平面ABCD所成的角不是为45，故
18、错误故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、正方体结构特征等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题12（5分）如图，矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE，若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A|BM|是定值B点M在某个球面上运动C存在某个位置，使DEA1CD存在某个位置，使MB平面A1DE【分析】取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF平面A1DE，可得D正确；由余弦定理可得MB2MF2+FB22MFFBcosMFB，所以MB是定值，M是在以B为圆心，MB
19、为半径的圆上，可得A，B正确A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得C不正确【解答】解：取CD中点F，连接MF，BF，则MFDA1，BFDE，平面MBF平面A1DE，MB平面A1DE，故D正确由A1DEMFB，MFA1D定值，FBDE定值，由余弦定理可得MB2MF2+FB22MFFBcosMFB，所以MB是定值，故A正确B是定点，M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故B正确，A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，存在某个位置，使DEA1C不正确故选：C【点评】掌握线面、面面平行与垂直的判定和性质定理及线面角、二面角的定义及求法是解题的关键二、填空题：本大题共4
20、小题，每小题5分，满分20分.13（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若S832，则a2+2a5+a616【分析】S832，可得32，可得a4+a5a1+a8利用a2+2a5+a62（a4+a5）即可得出【解答】解：S832，32，可得a4+a5a1+a88则a2+2a5+a62（a4+a5）2816，故答案为：16【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14（5分）已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为60cm2，则此圆锥的体积为96cm3【分析】根据侧面积计算圆锥的底面半径，根据勾股定理得出圆锥的高，代入圆锥的体积公式计算体积【解答】
21、解：设圆锥的底面半径为r，则S侧r1060，解得r6圆缀的高h8，圆锥的体积V96故答案为：96【点评】本题考查了圆锥的结构特征，侧面积与体积计算，属于基础题15（5分）设x与y均为正数且+1，则x+2y的最小值为3+6【分析】根据题意，分析可得x+2y（x+2）+2（y+2）6（x+2）+2（y+2）（+）63+，由基本不等式分析可得答案【解答】解：根据题意，x+2y（x+2）+2（y+2）6（x+2）+2（y+2）（+）63+3+23+6，即x+2y的最小值为3+6，故答案为：3+6【点评】本题考查基本不等式的性质，关键是配凑基本不等式的条件16（5分）棱长为2的正方体ABCDA1B1C1
22、D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是【分析】由点、线、面的位置关系作出截面，依据图形求出面积即可【解答】解：如图，由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为【点评】考查空间中截面的作法及梯形的面积公式三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosAacosC+ccosA（1）求角A的大小；（2）若a3，ABC的周长为8，求ABC的面积【分析】（1）由正弦定理进行化简求解即可（2）与余弦定
23、理，结合是三角形的周长，求出bc的值即可【解答】解：（1）由正弦定理得：2sin Bcos Asin Acos C+sin Ccos A2sinBcosAsin（A+C）sin（B）sin B因为sinB0，所以cosA，又A为ABC的内角所以A60（2）因为a3及ABC的周长为8， 所以b+c5，由余弦定理得a2b2+c22bcosA（b+c）22bc2bccos60（b+c）23bc所以3bc（b十c）2a225916， 所以bc，所以ABC的面积SbcsinA【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及三角形的面积公式进行转化求解是解决本题的关键18（12分）如图，在四棱
24、锥PABCD中，PA平面ABCD，E为PA的中点，F为BC的中点，底面ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O求证：（1）平面EFO平面PCD；（2）平面PAC平面PBD【分析】（1）由题意知，EOPC，由线面平行的判定定理得到EO平面PCD，同理可证，FO平面PCD，再由面面平行的判定定理，即得证平面EFO平面PCD（2）由于PA平面ABCD，得到PABD，再由已知得到BD平面PAC，由面面垂直的判定定理，即得证平面PAC平面PBD【解答】解：（1）因为E为PA的中点，O为AC的中点，所以EOPC又EO平面PCD，PC平面PCD，所以EO平面PCD同理可证，FO平面PCD，又EOFOO所以，
25、平面EFO平面PCD（2）因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD因为底面ABCD是菱形，所以ACBD，又PAACA所以BD平面PAC又BD平面PBD，所以平面PAC平面PBD【点评】本小题主要考查空间线面关系，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力19（12分）已知关于x的不等式ax2（a+2）x+20（1）当a1时，解不等式；（2）当aR时，解不等式【分析】（1）a1时，不等式化为x2x+20，求解即可；（2）不等式化为（ax2）（x1）0，讨论a0、a0和a0时，对应不等式的解集是什么，从而求出对应的解集【解答】解：（1）当a1时，此不等式为x
26、2x+20，可化为x2+x20，化简得（x+2）（x1）0，解得即x|x2或x1；（4分）（2）不等式ax2（a+2）x+20化为（ax2）（x1）0，当a0时，x1；当a0时，不等式化为（x）（x1）0，若1，即a2，解不等式得x1；若1，即a2，解不等式得x；若1，即0a2，解不等式得1x；当a0时，不等式（x）（x1）0，解得x或x1；综上所述：当a0，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为x|x或x1；当0a2时，不等式的解集为x|1x；当a2时，不等式的解集为；当a2时，不等式的解集为x|x1（12分）【点评】本题考查了含参数的不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，
27、解题时应对参数进行讨论，是综合性题目20（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，BAC90，ACABAA1，E是BC的中点（1）求证：AEB1C；（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；（3）若G为C1C中点，求二面角CAGE的正切值【分析】（1）由BB1面ABC及线面垂直的性质可得AEBB1，由ACAB，E是BC的中点，及等腰三角形三线合一，可得AEBC，结合线面垂直的判定定理可证得AE面BB1C1C，进而由线面垂直的性质得到AEB1C；（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，根据异面直线夹角定义可得，E1A1C是异面直线A与A1C所成的角，设ACABAA
28、12，解三角形E1A1C可得答案（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQAG于Q，连EP，EQ，则EPAC，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得EP平面ACC1A1，进而由二面角的定义可得PQE是二面角CAGE的平面角【解答】证明：（1）因为BB1面ABC，AE面ABC，所以AEBB1（1分）由ABAC，E为BC的中点得到AEBC（2分）BCBB1BAE面BB1C1C（3分）AEB1C（4分）解：（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，则AEA1E1，E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角（6分）设ACABAA12，则由BAC90，可得A1E1AE，A1C2
29、，E1C1ECBCE1C在E1A1C中，cosE1A1C（8分）所以异面直线AE与A1C所成的角为（9分）（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQAG于Q，连EP，EQ，则EPAC（10分）又平面ABC平面ACC1A1EP平面ACC1A1（11分）而PQAGEQAGPQE是二面角CAGE的平面角（12分）由EP1，AP1，PQ，得tanPQE所以二面角CAGE的平面角正切值是（13分）【点评】本题是与二面角有关的立体几何综合题，主要考查了异面直线的夹角，线线垂直的判定，二面角等知识点，难度中档，熟练掌握线面垂直，线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角及二面角的定义，是解答本题的关键2
30、1（12分）Sn为数列an的前n项和，已知an0，（）求an；（）记数列的前n项和为Tn，若对于任意的nN*，tTnan+11恒成立，求实数t的取值范围【分析】（）由数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（）可得（），再由数列的裂项相消求和可得Tn，由参数分离和基本不等式，可得最值，即可得到所求范围【解答】解：（）an0，可得a12+2a14S1+34a1+3，解得a13；n2可得an12+2an14Sn1+3，又an2+2an4Sn+3，相减可得an2+2anan122an14Sn4Sn14an，则an2an12（an+an1）（anan1）2（an+an1），可得anan1
31、2，即有an3+2（n1）2n+1；（）数列的前n项和为Tn，由（），可得Tn（+）（），对于任意的nN*，tTnan+11恒成立，即为t6（2n+15）的最小值，由2n+152+1527，当且仅当n3时取得等号，则t162，即t的取值范围为（，162）【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的定义和通项公式，以及数列的裂项相消求和，不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题22（12分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB平面ABCD，ABAP3，ADPB2，E为线段AB上一点，且AE：EB7：2，点F、G分别为线段PA、PD的中点（1）求证：PE平面A
32、BCD；（2）若平面EFG将四棱锥PABCD分成左右两部分，求这两部分的体积之比【分析】（1）证明PEAB，利用平面PAB平面ABCD，即可证明：PE平面ABCD；（2）若平面EFG将四棱锥PABCD分成左右两部分，利用分割法求体积，即可求这两部分的体积之比【解答】（1）证明：在等腰APB中，则由余弦定理可得，（2分）PE2+BE24PB2，PEAB，（3分）平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，PE平面ABCD（4分）（2）解：设平面EFG与棱CD交于点N，连接EN，因为GFAD，所以GF平面ABCD，从而可得ENCD（6分）延长FG至点M，使GMGF，连接DM，MN，则AFEDMN为直三棱柱，（7分）F到AE的距离为，【点评】本题考查线面垂直的证明，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题