1、2019-2020学年广东省佛山一中高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）若直线x+my10的倾斜角为30，则实数m的值为（）ABCD2（5分）在等差数列an中，a3+a918a6，Sn表示数列an的前n项和，则S11（）A66B99C198D2973（5分）已知a0，b0，那么下列不等式中一定成立的是（）Aba0B|a|b|Ca2abD4（5分）满足A60，a2，b4的ABC的个数是（）A0B1C2D35（5分）两条平行直线3x+4y120与ax+8y+110之间的距离为（）ABC7D6（5分）已知
2、点A的坐标为（4，4），直线l的方程为x+y20，则点A关于l的对称点A的坐标为（）AB（2，6）C（2，4）D（1，6）7（5分）如图，网格纸上虚线围成的最小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）AB2C4D88（5分）直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A30B45C60D909（5分）若圆x2+y2r2（r0）上仅有4个点到直线xy20的距离为1，则实数r的取值范围是（）ABCD10（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）AB16C9D二、多选题
3、（本题共2小题，每小题4分，共10分在每小题给出的四个选项中，至少有两一项是符合题目要求的）11（4分）已知m，n表示两条不同的直线，、表示三个不同的平面下列命题中，正确的命题是（）A若m，n，则mnB若，则C若m，n，则mnD若，m，则m12（4分）已知圆M：（x+cos）2+（ysin）21，直线l：ykx下列命题中，正确的命题是（）A对任意实数 k 和，直线 l 和圆 M 有公共点B对任意实数，必存在实数 k，使得直线 l 与圆 M 相切C对任意实数 k，必存在实数，使得直线 l 与圆 M 相切D存在实数 k 与，使得圆 M 上有一点到直线 l 的距离为 3三、填空题（本题共4小题，每小
4、题5分，共20分）13（5分）已知直线ax+a2y+10与直线（a2）x+y20垂直，则a的值为 14（5分）已知a，bR+，且a+b1，则的最小值为 15（5分）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，1）的距离之和最小的点的坐标是 16（5分）已知直线l：与圆x2+y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则m ，|CD| 四、解答题（共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知等差数列an的首项为1，公差d0，且a8是a5与a13的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）记，求数列bn的前n项和Tn1
5、8（12分）已知ABC的内角分别为A，B，C，其对应边分别是a，b，c，且满足bcosC+ccosB2acosB（）求角B的大小；（）若，求a+2c的最大值19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是等边三角形，BCCC14，D是A1C1中点（1）求证：A1B平面B1CD；（2）当AA1平面ABC时，求点B到平面B1CD的距离20（12分）如图，等腰直角ABC的直角顶点C（0，1），斜边AB所在的直线方程为x+2y80（1）求ABC的面积；（2）求斜边AB中点D的坐标21（12分）如图，在长方形ABCD中，AB4，BC2，现将ACD沿AC折起，使D折到P的位置且P在面ABC的射影
6、E恰好在线段AB上（）证明：APPB；（）求锐二面角BPCE的余弦值22（12分）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置我们说球A是指该球的球心点A两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：（1）如图1，设母球A的位置为（0，0），目标球B的位置为（4，0），要使目标球B向C（8，4）处运动，求母球A球心运动的直线方程；（2）如图2，若母球A的位置为（0，2），目标
7、球B的位置为（4，0），能否让母球A击打目标B球后，使目标B球向（8，4）处运动？（3）若A的位置为（0，a）吋，使得母球A击打目标球B时，目标球B（，0）运动方向可以碰到目标球C（，），求a的最小值（只需要写出结果即可）2019-2020学年广东省佛山一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）若直线x+my10的倾斜角为30，则实数m的值为（）ABCD【分析】由直线方程求得斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解【解答】解：直线x+my10的斜率为，而直线x+my10的倾斜角为30，则
8、m故选：A【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题2（5分）在等差数列an中，a3+a918a6，Sn表示数列an的前n项和，则S11（）A66B99C198D297【分析】根据等差数列的性质可知a3+a918a62a6，然后根据等差数列的求和公式解之即可求出所求【解答】解：a3+a918a62a6，a66，S1111a666，故选：A【点评】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键，属于基础题3（5分）已知a0，b0，那么下列不等式中一定成立的是（）Aba0B|a|b|Ca2abD【分析】根据a，b飞符号和范围，结合不等式的关系进行判断
9、即可【解答】解：若a0，b0，则a0，则ba0，故A错误，|a|b|不一定成立，a2ab，则C不成立，0，0，则，成立，故D正确，故选：D【点评】本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键比较基础4（5分）满足A60，a2，b4的ABC的个数是（）A0B1C2D3【分析】利用正弦定理求出B，判断三角形的个数即可【解答】解：由正弦定理得，即，解得sinB1，B90，ABC是直角三角形，C30故符合条件的三角形只有1个故选：B【点评】本题考查了正弦定理，三角形解的个数判断，属于基础题5（5分）两条平行直线3x+4y120与ax+8y+110之间的距离为（）ABC7D【分析】先将
10、两条平行直线的系数化成对应相等，再利用距离公式，即可求得结论【解答】解：由题意，a6，直线3x+4y120可化为6x+8y240两条平行直线之间的距离为故选：D【点评】本题考查两条平行直线之间的距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题6（5分）已知点A的坐标为（4，4），直线l的方程为x+y20，则点A关于l的对称点A的坐标为（）AB（2，6）C（2，4）D（1，6）【分析】设点A（4，4）关于直线x+y20的对称点A的坐标为（a，b），利用垂直及中点在轴上这两个条件，求出a、b的值，可得答案【解答】解：设点A（4，4）关于直线x+y20的对称点A的坐标为（a，b），则由，求得a2，b6
11、，故点A（2，6），故选：B【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的求法，利用了垂直及中点在轴上这两个条件，还考查了中点公式，属于基础题7（5分）如图，网格纸上虚线围成的最小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）AB2C4D8【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后求解几何体的体积【解答】解：几何体是两个底面为圆，高为6和2的两个圆柱体组成，底面半径为2，几何体的体积为：8故选：D【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键8（5分）直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等
12、于（）A30B45C60D90【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角【解答】解：延长CA到D，使得ADAC，则ADA1C1为平行四边形，DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1DA1BDBAB，则三角形A1DB为等边三角形，DA1B60故选：C【点评】本小题主要考查直三棱柱ABCA1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题9（5分）若圆x2+y2r2（r0）上仅有4个点到直线xy20的距离为1，则实数r的取值范围是（）ABCD【分析】到已知直线的距
13、离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与x2+y2r2有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r的取值范围【解答】解：作出到直线xy20的距离为1的点的轨迹，得到与直线xy20平行，且到直线xy20的距离等于1的两条直线，圆x2+y2r2的圆心为原点，原点到直线xy20的距离为d，两条平行线中与圆心O距离较远的一条到原点的距离为d，又圆x2+y2r2（r0）上有4个点到直线xy20的距离为1，两条平行线与圆x2+y2r2有4个公共点，即它们都与圆x2+y2r2相交由此可得圆的半径rd，即r，实数r的取值范围是故选：C【点评】本题给
14、出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题10（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）AB16C9D【分析】正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积【解答】解：设球的半径为R，则棱锥的高为4，底面边长为2，R2（4R）2+（）2，R，球的表面积为4（）2故选：A【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题二、多选题（本题共2小题，每小题4分，共10分在每小题给出的四个选项中，至少有两
15、一项是符合题目要求的）11（4分）已知m，n表示两条不同的直线，、表示三个不同的平面下列命题中，正确的命题是（）A若m，n，则mnB若，则C若m，n，则mnD若，m，则m【分析】根据空间中的直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系和符号表示，判断选项中的命题是否正确即可【解答】解：对于A，m，n时，过n作平面l，所以nl，且ml，所以mn，A正确；对于B，时，则或，所以B错误；对于C，m，n时，则mn或mn或m、n是异面直线，所以C错误；对于D，得出；又m，则m，所以D正确故选：AD【点评】本题考查了空间中的线面位置关系与符号表示的应用问题，是基础题12（4分）已知圆M：（x+cos）2
16、+（ysin）21，直线l：ykx下列命题中，正确的命题是（）A对任意实数 k 和，直线 l 和圆 M 有公共点B对任意实数，必存在实数 k，使得直线 l 与圆 M 相切C对任意实数 k，必存在实数，使得直线 l 与圆 M 相切D存在实数 k 与，使得圆 M 上有一点到直线 l 的距离为 3【分析】根据圆M与直线l恒过定点O，判断选项A正确；举例说明选项B错误；根据圆心M到直线的距离d与半径r的关系，判断C正确，D错误【解答】解：对于A，圆M：（x+cos）2+（ysin）21恒过定点O（0，0），直线l：ykx也恒过定点O（0，0），所以直线 l 和圆 M 有公共点，A正确；对于B，0时，圆
17、M的方程为：（x+1）2+y21，此时y轴为圆M过原点的切线，且不存在实数k，B错误；对于C，圆心M（cos，sin），则圆心M到直线l的距离为d|sin（+）|1，所以对任意实数k，必存在实数，使直线l和圆M相切，C正确；对于D，圆心M到直线l的距离为d13，所以D错误故选：AC【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了点到直线的距离与合理运用问题，是中档题三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知直线ax+a2y+10与直线（a2）x+y20垂直，则a的值为1【分析】利用l1l2A1A2+B1B20直接求解即可【解答】解：直线ax+a2y+10与直线（a2
18、）x+y20垂直，a（a2）+a20，a1或a0（舍）故答案为：1【点评】本题考查了两直线垂直的性质，考查了转化思想，属基础题14（5分）已知a，bR+，且a+b1，则的最小值为4【分析】利用“乘1法”和基本不等式即可得出【解答】解：a，bR+，且a+b1，2+4，当且仅当ab时取等号的最小值为4故答案为：4【点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题15（5分）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，1）的距离之和最小的点的坐标是（2，4）【分析】如图，设平面直角坐标系中任一点P，利用三角形中两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PDPB+PD
19、+PA+PCBD+ACQA+QB+QC+QD，从而得到四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程，联立方程组求交点坐标即可【解答】解：如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，1）的距离之和为：PA+PB+PC+PDPB+PD+PA+PCBD+ACQA+QB+QC+QD，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，1），AC，BD的方程分别为：，即2xy0，x+y60解方程组得Q（2，4）故答案为：（2，4）【点评】本小题主要考查直线方程
20、的应用、三角形的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题16（5分）已知直线l：与圆x2+y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则m，|CD|4【分析】根据题意，由点到直线的距离求出m，可得直线l的倾斜角为30，再利用直角三角形中的三角函数求出|CD|即可【解答】解：|AB|2，则圆心O（0，0）到直线l的距离d，则有，解得m，直线l的方程为：（）x+y20，则其倾斜角为30，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|故答案为：，4【点评】本题考查直线与圆的位置关系，训练了利用垂径定理求弦长，是基础题四、解答题（
21、共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知等差数列an的首项为1，公差d0，且a8是a5与a13的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）记，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得d，即可得到所求通项公式；（2）求得bn（），由裂项相消求和，化简可得所求和【解答】解：（1）等差数列an的首项为1，公差d0，且a8是a5与a13的等比中项，可得a82a5a13，即为（1+7d）2（1+4d）（1+12d），解得d2（0舍去），可得an1+2（n1）2n1；（2）bn（），数列bn的前n项和Tn（1+）（1）【点评】本题
22、考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题18（12分）已知ABC的内角分别为A，B，C，其对应边分别是a，b，c，且满足bcosC+ccosB2acosB（）求角B的大小；（）若，求a+2c的最大值【分析】（1）先根据正弦定理进行边化角，然后结合三角函数正弦的和差公式逆运用即可；（2）先由正弦定理得出a2sinA，csinC，然后统一角度转化为三角函数求最值问题即可【解答】解：（）bcosC+ccosB2acosB由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB2sinAcosB，即sin（B+C）sinA2sinAcosB，
23、则cosB，即B（）由正弦定理得：2，a2sinA，c2sinC，则a+2c2sinA+4sinC2sinA+4sin（A）2（2sinA+cosA）2sin（A+），（其中tan，（0，），所以当A时，a+2c的最大值是2【点评】本题主要考查正弦定理的应用，考查正弦定理的边化角，三角化简求最值，对定理的灵活运用转化为解题关键，属于中档题19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是等边三角形，BCCC14，D是A1C1中点（1）求证：A1B平面B1CD；（2）当AA1平面ABC时，求点B到平面B1CD的距离【分析】（1）连接BC1，交B1C于点O，连接DO证明BOOC1，DOA1
24、B，然后证明A1B平面B1CD（2）说明B到平面B1CD的距离与C1到平面B1CD的距离相等利用由，求解点B到平面B1CD的距离【解答】（1）证明：连接BC1，交B1C于点O，连接DO在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形BB1C1C为平行四边形，BOOC1，又点D是A1C1中点，DOA1B，而DO平面B1CD，且A1B平面B1CD，A1B平面B1CD（2）解：由（1）知：BOOC1，B到平面B1CD的距离与C1到平面B1CD的距离相等AA1平面A1B1C1，B1D平面A1B1C1，AA1B1D，ABC是等边三角形，A1B1C1是等边三角形，点D是A1C1中点，A1C1B1D，又CC1A1C1C
25、1，CC1平面AA1C1C，A1C1平面AA1C1C，B1D平面AA1C1C，B1DCD由计算得：，设C1到平面B1CD的距离为h，由，得：，点B到平面B1CD的距离是【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，等体积法的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力，是中档题20（12分）如图，等腰直角ABC的直角顶点C（0，1），斜边AB所在的直线方程为x+2y80（1）求ABC的面积；（2）求斜边AB中点D的坐标【分析】（1）由点到直线距离公式求得C到AB边所在直线距离，然后由等腰直角三角形的性质求得AB的长度，代入三角形面积公式得答案；（2）由等腰直角三角形斜
26、边的高与斜边的中线重合，先求出斜边的高线所在直线方程，联立方程组求得斜边AB中点D的坐标【解答】解：（1）由点到直线的距离公式求得C到直线x+2y80的距离为d根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的2倍可得|AB|4则；（2）AB所在的直线方程为x+2y80，斜率为，则AB边上的高所在直线的斜率为2，高所在直线方程为y2x1，联立，解得斜边AB中点D的坐标为（2，3）【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线垂直间的关系，考查了等腰直角三角形的性质，是中档题21（12分）如图，在长方形ABCD中，AB4，BC2，现将ACD沿AC折起，使D折到P的位置且P在面ABC的射影E恰好在线段AB上（）证明
27、：APPB；（）求锐二面角BPCE的余弦值【分析】（）推导出PEBC，ABBC，从而BC平面PAB，进而BCAP，再由APCP，得AP平面PBC，由此能证明APPB（）由射影定理知AE1，以E为原点，建立空间直角坐标系Exyz利用向量法能求出锐二面角BPCE余弦值【解答】证明：（）由题知PE平面ABC，又BC平面ABC，PEBC，又ABBC且ABPEE，BC平面PAB，又AP平面PAB，BCAP，又APCP且BCCPC，AP平面PBC，又PB平面PBC，所以APPB解：（）在RtPAB中，AP2，AB4，由射影定理知AE1，以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系Exyz则E（0，0，0），B（
28、0，3，0），C（2，3，0），设是平面EPC的一个法向量，则，即，即，取，所以；设是平面PBC的一个法向量，则，即，即，取，所以；设锐二面角BPCE的大小为，则，所以锐二面角BPCE余弦值为【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题22（12分）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置我们说球A是指该球的球心点A两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向所有的球都简化为平面上
29、半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：（1）如图1，设母球A的位置为（0，0），目标球B的位置为（4，0），要使目标球B向C（8，4）处运动，求母球A球心运动的直线方程；（2）如图2，若母球A的位置为（0，2），目标球B的位置为（4，0），能否让母球A击打目标B球后，使目标B球向（8，4）处运动？（3）若A的位置为（0，a）吋，使得母球A击打目标球B时，目标球B（，0）运动方向可以碰到目标球C（，），求a的最小值（只需要写出结果即可）【分析】（1）求出BC所在直线方程，得到碰撞时A的坐标，可得母球A球心运动的直线方程；（2）由母球运动直线与BC所在直线夹角为锐角，可知不能让母球A击打目标B球后，使目标B球向（8，4）处运动；（3）直接由题意求得a的最小值【解答】解：（1）如图，B（4，0），C（8，4），BC：x+y40由AB2，可得，母球A运动的直线方程为；（2）如上图，若母球A的位置为（0，2），要使目标球B向（8，4）处运动，则母球击打后运行到（4，）时与目标球碰撞，则点（0，2）与点（4，）连线的斜率小于等于1，而k，不能让母球A击打目标B球后，使目标B球向（8，4）处运动；（3）a的最小值为【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查圆与圆位置关系的应用，是中档题