1、2018-2019学年广东省汕尾市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合U1，2，3，4，5，6，7，集合Ax|3x7，xN，则UA（）A1，2B3，4，5，6，7C1，3，4，7D1，4，72（5分）已知复数z满足（1i）zi，且|z|（）ABCD13（5分）若alog67，blog76，clog，则（）AabcBacbCcbaDbca4（5分）已知双曲线的标准方程为1（a0，b0），若渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为（）AB2CD45（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图
2、是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）ABCD6（5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，第四日行二十四，几朝才得到其关，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，其中第四天走了24里”问此人（）天后到达目的地A4B5C6D87（5分）如果实数x、y满足条件，那么z2x+y的最大值为（）A3BC3D48（5分）已知向量，满足|2|2，与的夹角为60，则|（）ABCD19（5分）在（x2+）8的展开式中，x4项的系数为（）A8B16C24
3、D7010（5分）世日本数学家角谷静夫发现的“3x+1猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的N6，则输出i值为（）A6B7C8D911（5分）已知两个平面相互垂直，下列命题一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面过一个平面内任意一点作交线的垂线，则
4、此垂线必垂直于另一个平面其中不正确命题的个数（）A1B2C3D412（5分）已知函数f（x）与g（x）图象的两个不同的交点，则k的取值范围是（）A（1，0）B（，）C（0，）D（，0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上13（5分）在等差数列an中，a23，a47，则an的前5项和S5 14（5分）从n个正整数1，2，3，n中任意取两个不同的数，若取出的两数之和为7的概率为，则n 15（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方
5、向上，仰角为60，则此山的高度CD m16（5分）已知椭圆C：+1的左、右顶点分别为A、B，点P椭圆C上不同于A、B两点的动点，若直线PA斜率的取值范围是1，2，则直线PB斜率的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）在ABC中，A，B，C所对的边为a，b，c，满足（a+bc）（ab+c）bc（1）求A的值；（2）若a2，B，则ABC的周长18（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且a12，Snan+n2n（）求an；（）设bn，求数列bn的前n项和Tn19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCBB1，AB1A1BE，D为AC上的点，B1
6、C平面A1BD；（1）求证：BD平面A1ACC1；（2）若AB1，且ACAD1，求二面角BA1DB1的正弦值20（12分）端午佳节旌旗胜，龙舟竞渡展雄风端午龙舟竞渡活动是我国的民间传统习俗，龙舟精神激发着汕尾海陆丰老区人民敢为人先、奋发有为的勇气，每年在粽叶飘香的端午节到来的前一天，汕尾市都将在美丽的品清湖畔举行龙舟锦标赛，他们将在这片碧蓝的品清湖上挥桨劈浪，奋勇争先，一往无前的龙舟精神，该活动也为市民提供了难得的视觉盛宴某商家为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了6月2日至6月6日的白天平均气温x（）与该奶茶店的这种饮料销量y（杯），得到如下数据：日期
7、6月2日6月3日6月4日6月5日6月6日平均气温x（）2729313033销量y（杯）2325302621（1）请根据所给五组数据，求出了y关于x的线性回归方程x+；若气象台预报6月7日白天的平均气温为35，根据线性回归方程预测该奶茶店这种饮料的销量（取整数）（2）为了分析市场趋势，该商家从前五天销售数据中随机抽取2天数据，记抽取的销量在25杯以下（不含25）为X，求X的分布列和数学期望、方差附：线性回归方程x+中，其中，为样本平均值21（12分）已知椭圆E：+1（ab0）的离心率为，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为4（1）求椭圆E的方程；（2）若直线xmy40与椭圆E相交于A，B
8、两点，设P为椭圆E上一动点，且满足+t（O为坐标原点）当t1时，求m的取值范围22（12分）已知函数f（x）x+alnx（a，bR，a0）（1）若x1是函数f（x）的极小值点，求实数a的取值范围；（2）当b1时，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0（n，n+1），其中nN，求n（参考数据ln20.7，ln31.1）2018-2019学年广东省汕尾市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合U1，2，3，4，5，6，7，集合Ax|3x7，xN，则UA（）A1，2B3，4，5，
9、6，7C1，3，4，7D1，4，7【分析】可求出集合A，然后进行补集的运算即可【解答】解：U1，2，3，4，5，6，7，A3，4，5，6，7；UA1，2故选：A【点评】考查列举法、描述法表示集合的定义，以及补集的运算2（5分）已知复数z满足（1i）zi，且|z|（）ABCD1【分析】由（1i）zi，可得（1+i）（1i）zi（1+i），可得z，再利用模的计算公式即可得出【解答】解：（1i）zi，（1+i）（1i）zi（1+i），z+i则|z|故选：B【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）若alog67，blog76，clo
10、g，则（）AabcBacbCcbaDbca【分析】可以得出，从而得出a，b，c的大小关系【解答】解：log67log661，0log71log76log771，；cba故选：C【点评】考查对数函数的单调性，对数的运算，以及增函数和减函数的定义4（5分）已知双曲线的标准方程为1（a0，b0），若渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为（）AB2CD4【分析】由双曲线1（a0，b0）的渐近线方程是yx，可得，利用双曲线的离心率e，即可得出结论【解答】解：双曲线1（a0，b0）的渐近线方程是yx，双曲线的离心率e2故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，确定是关键5（5分）一个几何
11、体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）ABCD【分析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是腰长为2的等腰三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为为2，故圆锥的底面半径为1，高为，代入圆锥体积公式即可得到答案【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又正视图是腰长为2的等腰三角形r1，h故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何的形状及相关几何量（底面半径，高等）的大小是解答的关键6（5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一
12、半，第四日行二十四，几朝才得到其关，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，其中第四天走了24里”问此人（）天后到达目的地A4B5C6D8【分析】设这个人第一天走了x里路，y天到达目的地，利用等比数列的定义和通项公式，等比数列的求和公式求出y的值，可得结论【解答】解：设这个人第一天走了x里路，y天到达目的地，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，故第二天走了里路，第三天走了 里路，第四天走了里路由于第四天走了24里，故 24，x192里由题意，192+96+48+24+192378，1，求得y6，故选：C【点评】本题
13、主要考查等比数列的定义和通项公式，等比数列的求和公式，属于基础题7（5分）如果实数x、y满足条件，那么z2x+y的最大值为（）A3BC3D4【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数z2x+y对应的直线进行平移，可得2x+y的最大值【解答】解：作出实数x、y满足条件，表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（2，1），设zF（x，y）2x+y，将直线l：z2x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值z最大值F（2，1）3故选：C【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z2x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性
14、规划等知识，属于基础题8（5分）已知向量，满足|2|2，与的夹角为60，则|（）ABCD1【分析】利用向量的数量积以及向量的模的运算法则化简求解即可【解答】解：向量，满足|2|2，与的夹角为60，则|故选：B【点评】本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，是基本知识的考查9（5分）在（x2+）8的展开式中，x4项的系数为（）A8B16C24D70【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得含x4项的系数【解答】解：在（x2+）8的展开式中，通项公式为 Tr+1x163r，令163r4，求得r4，x4项的系数为70，故选：D【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项
15、展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题10（5分）世日本数学家角谷静夫发现的“3x+1猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的N6，则输出i值为（）A6B7C8D9【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n的值并输出相应的i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：由题意，模拟程序的运行
16、，可得n3，i1满足条件n是奇数，n10，i2不满足条件n1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n5，i3不满足条件n1，执行循环体，满足条件n是奇数，n16，i4不满足条件n1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n8，i5不满足条件n1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n4，i6不满足条件n1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n2，i7不满足条件n1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n1，i8满足条件n1，退出循环，输出i的值为8故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题11（5分）已知两个平面相互垂直，下列命题一个平面内已知直线必
17、垂直于另一个平面内的无数条直线一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中不正确命题的个数（）A1B2C3D4【分析】由面面垂直和线面垂直的性质定理可判断正确；不正确【解答】解：两个平面相互垂直，一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的一条直线，进而垂直于另一个平面内的无数条直线，故正确；一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线，不正确，只有该直线垂直于两个平面的交线，由面面垂直的性质定理可得该直线垂直于另一个平面内的任意一条直线，故不正确；一个平面内任意一条直线必垂直于
18、另一个平面，错误，只有该直线垂直于两个平面的交线，才有该直线垂直于另一个平面，故错误；若此点在交线上，那么作出来的线就不一定与另一平面垂直了，故错误故选：C【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查面面垂直和线面垂直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题12（5分）已知函数f（x）与g（x）图象的两个不同的交点，则k的取值范围是（）A（1，0）B（，）C（0，）D（，0）【分析】由题意可得f（x）g（x），即kxlnx有两个不等实根，设h（x）xlnx，求得导数和单调性，极值，画出图象，即可得到所求范围【解答】解：函数f（x）与g（x）图象的两个不同的交点，即为f（x）g（x），即k
19、xlnx有两个不等实根，设h（x）xlnx，h（x）lnx+1，当x时，h（x）0，h（x）递增，0x时，h（x）0，h（x）递减，可得x处h（x）取得最小值，则由h（x）的图象可得k0，故选：D【点评】本题考查函数和方程的转化思想，考查构造函数法，以及函数的导数的运用，化简运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上13（5分）在等差数列an中，a23，a47，则an的前5项和S525【分析】由题意利用等差数列的定义、通项公式，求出公差d的值，再利用前n项和公式求出结果【解答】解：等差数列an中，a23，a47，故公差2da4a
20、24，d2，a11，则an的前5项和S55a1+d25，故答案为：25【点评】本题主要考查等差数列的定义、通项公式及前n项和公式，属于基础题14（5分）从n个正整数1，2，3，n中任意取两个不同的数，若取出的两数之和为7的概率为，则n9【分析】基本事件总数N，取出的两数之和等于7包含的基本事件有（1，6），（2，5），（3，4），共3个，由此利用取出的两数之和等于7的概率为p能求出n【解答】解：从n个正整数1，2，3，n中任意取两个不同的数，基本事件总数N，取出的两数之和等于7包含的基本事件有：（1，6），（2，5），（3，4），共3个，取出的两数之和等于7的概率为p36，解得n9故答案为：9
21、【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为60，则此山的高度CD300m【分析】设此山高h（m），在BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在ABC中利用正弦定理求得h【解答】解：设此山高h（m），则BCh，在ABC中，BAC30，CBA105，BCA45，AB600，根据正弦定理，得，解得h300（m）故答案为：300【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属基础题16
22、（5分）已知椭圆C：+1的左、右顶点分别为A、B，点P椭圆C上不同于A、B两点的动点，若直线PA斜率的取值范围是1，2，则直线PB斜率的取值范围是，【分析】首先证明结论：设椭圆（ab0）的左右顶点分别为A（a，0），B（a，0），P（x0，y0）为椭圆上不同于A，B的任意一点，则kPAkPB，再由直线PA斜率的取值范围求得直线PB斜率的取值范围【解答】解：设椭圆（ab0）的左右顶点分别为A（a，0），B（a，0），P（x0，y0）为椭圆上不同于A，B的任意一点，则，由P在椭圆上，得，则由椭圆C：+1，得，kPA1，2，故答案为：，【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查计算能力，是中档题三、解答题
23、：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）在ABC中，A，B，C所对的边为a，b，c，满足（a+bc）（ab+c）bc（1）求A的值；（2）若a2，B，则ABC的周长【分析】（1）化简已知等式可得b2+c2a2bc，由余弦定理可求cosA，结合范围A（0，），可求A的值（2）利用三角形的内角和定理可求C，由正弦定理可得b，c的值，即可得解三角形的周长【解答】解：（1）（a+bc）（ab+c）bc，可得：a2（bc）2bc，可得：b2+c2a2bc，cosA，A（0，），A（2）A，a2，B，CAB，由正弦定理可得：，解得：b，c，ABC的周长La+b+c2+2+【点评】本题主要考查
24、了余弦定理，三角形的内角和定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且a12，Snan+n2n（）求an；（）设bn，求数列bn的前n项和Tn【分析】（）由数列的递推式：n2时，anSnSn1，化简可得所求通项公式；（）求得bn（），再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和【解答】解：（）a12，Snan+n2nn2时，anSnSn1an+n2nan1+（n1）2（n1），可得an12n2，即有an2n，对n1也成立，可得数列an的通项公式为an2n，nN*；（）bn（），可得数列bn的前n项和Tn（1+）（1）【点评】
25、本题考查数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCBB1，AB1A1BE，D为AC上的点，B1C平面A1BD；（1）求证：BD平面A1ACC1；（2）若AB1，且ACAD1，求二面角BA1DB1的正弦值【分析】（1）：连结ED，推导出B1CED，BDAC，A1ABD，由此能证明BD平面A1ACC1（2）以B为原点，建立空间直角坐标系Bxyz，利用向量法能求出二面角BA1DB1的余弦值【解答】证明：（1）连结ED，平面AB1C平面A1BDED，B1C平面A1BD，B1CED，E为AB1中点，D为AC中点，ABB
26、C，BDAC，由A1A平面ABC，BD平面ABC，得A1ABD，由及A1A、AC是平面A1ACC1内的两条相交直线，得BD平面A1ACC1解：（2）由AB1，得BCBB11，由（1）知DAAC，又ACDA1，得AC22，AC22AB2+BC2，ABBC，（7分）如图以B为原点，建立空间直角坐标系Bxyz，如图示，则A1（1，0，1），B1（0，0，1），D（，0），得（1，0，0），（，1），设（x，y，z）是平面A1B1D的一个法向量，则，令z1，得（0，2，1），设（a，b，c）为平面A1BD的一个法向量，则同理可得（1，1，1），依题意知二面角BA1DB1为锐二面角，设其大小为，则cos
27、|cos，|，即二面角BA1DB1的正弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用属于中档题20（12分）端午佳节旌旗胜，龙舟竞渡展雄风端午龙舟竞渡活动是我国的民间传统习俗，龙舟精神激发着汕尾海陆丰老区人民敢为人先、奋发有为的勇气，每年在粽叶飘香的端午节到来的前一天，汕尾市都将在美丽的品清湖畔举行龙舟锦标赛，他们将在这片碧蓝的品清湖上挥桨劈浪，奋勇争先，一往无前的龙舟精神，该活动也为市民提供了难得的视觉盛宴某商家为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了6月2日至6月6日的白天平均气温x（）
28、与该奶茶店的这种饮料销量y（杯），得到如下数据：日期6月2日6月3日6月4日6月5日6月6日平均气温x（）2729313033销量y（杯）2325302621（1）请根据所给五组数据，求出了y关于x的线性回归方程x+；若气象台预报6月7日白天的平均气温为35，根据线性回归方程预测该奶茶店这种饮料的销量（取整数）（2）为了分析市场趋势，该商家从前五天销售数据中随机抽取2天数据，记抽取的销量在25杯以下（不含25）为X，求X的分布列和数学期望、方差附：线性回归方程x+中，其中，为样本平均值【分析】（1）由已知求得与的值，得到线性回归方程，取x35求得y值即可；（2）写出X的取值，求得概率，列出分布
29、列，再由期望与方程公式求解【解答】解：（1）由数据，求得，由公式，求得0.05，25（0.05）3026.5y关于x的线性回归方程为0.05x+26.5取x35，得0.0535+26.525；（2）由题意，X的取值分别为0，1，2则P（X0），P（X1），P（X2）则X的分布列： X 012 P 数学期望E（X）0；方差D（X）【点评】本题考查线性回归方程，考查离散型随机变量的期望与方差的求法，考查计算能力，是中档题21（12分）已知椭圆E：+1（ab0）的离心率为，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为4（1）求椭圆E的方程；（2）若直线xmy40与椭圆E相交于A，B两点，设P为椭圆E
30、上一动点，且满足+t（O为坐标原点）当t1时，求m的取值范围【分析】（1）根据已知条件列方程组求出a，b，c，然后写出方程即可；（2）根据已知，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（xp，yp），联立直线与椭圆方程，分别消去x和y，由根与系数的关系得出x1+x2和y1+y2，再结合所给向量条件，列式子得出m和t的关系式，根据t1，可以得出m的范围【解答】解：（1）由已知，得，解得a24，b22，c，椭圆E的方程为；（2）根据已知，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（xp，yp），由，消去x，得（m2+2）y2+8my+120，由已知，得（8m）24（m2+2）120，即m260，m2
31、6，又，即P点在椭圆E上，即64+32m2t2（m2+2）2，又t1，即m230，6m230，或，故m的取值范围为【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，向量知识等，属于中等偏上的难度22（12分）已知函数f（x）x+alnx（a，bR，a0）（1）若x1是函数f（x）的极小值点，求实数a的取值范围；（2）当b1时，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0（n，n+1），其中nN，求n（参考数据ln20.7，ln31.1）【分析】（1）f（x），令f（x）0，可得x1，或xa1，x1是函数f（x）的极小值点，则有a11，即可（2）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出对应的函数值，从而求
32、出n的值即可【解答】解：（1），（x0）x1是函数f（x）的极小值点，f（1）1ab0b1af（x），令f（x）0，可得x1，或xa1，x1是函数f（x）的极小值点，则有a11，a2（2）当b1时，f（x）x+alnx，a0，a2+40，方程x2ax10有两个实根x1，x2，x1+x2a0，x1x210x10，x21，f（x）在（0，x2）递减，在（x2，+）递增f（1）0，要使存在唯一的零点x0，且x0（n，n+1），则x0x21，（x0+）（x0）lnx00令h（x）x+（x）lnx，（x1）h0，h（x）单调递减，而h（4），h（3）x0（3，4），n3【点评】本题考查函数的单调性以及函数的零点问题，考查学生的运算能力，属于中档题