1、2018-2019学年广东省湛江市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知集合A1，0，1，2，Bx|1x2，则AB（）A0，1Bx|1x2C1，0，1，2D1，22（5分）已知i是虚数单位，复数z+i，则|z|（）A5BC2D33（5分）已知a20.3，blog2 0.3，clog0.50.3，则（）AabcBacbCcbaDcab4（5分）已知向量（4，l），（5，2），且（+）（x），则实数x（）A1B1CD5（5分）从某校高三级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示若某高校A
2、专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为（）A30B25C22D206（5分）已知（，），sin，则tan（+）的值为（）ABC3D37（5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八厘关，初行健步不为难次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地、”则此人第4天走了（）A60里B48里C36里D24里8（5分）已知两条直线m、n，两个平面、，给出下面四个命题：，m，nmnmn，mn：mn，mn：，mnmn其中正确命题的序号是
3、：（）ABCD9（5分）函数的部分图象大致为（）ABCD10（5分）若点（，0）到双曲线C：1（a0，b0）的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）ABC或D11（5分）已知函数f（x）sin（x+），其中0，（0，），其图象关于直线x对称，对满足|f（x1）f（x2）|2的x1，x2，有|x1x2|min，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是（）Ak，k+（kZ）Bk，k+（kZ）Ck+，k+（kZ）Dk+，k+（kZ）12（5分）已知t为常数，函数在区间1，1上的最大值为2，则t的值为（）ABCD二、填空题（共4小题，每小题5分，满分
4、20分）13（5分）已知f（x）x（4lnx+l），则曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 14（5分）已知x、y满足约束条件，则目标函数z3x+y的最大值为 15（5分）已知矩形ABCD中，AB4，BC3，以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 16（5分）在正三棱锥SABC中，AB2，SA4，E、F分别为AC、SB的中点，过点A的平面平面SBC，平面ABCl，则异面直线l和EF所成角的余弦值 三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知等差数列an的前n项和为Sn，满足a23，S525（）求数列an的通项公式
5、：（）设bn，求数列bn的前n项和Tn18（12分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且ccosB（2ab）cosC（）求角C的大小；（）若AC4，延长AB至D，使BCBD，且AD5，连接CD，求ACD的面积19（12分）进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”，该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的22列联表：赞同限行不赞同限行合计没有私家车9020110有私家车7040110合计16060220（）根据上面的列联表判
6、断，能否有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车”有关；（）为了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“没有私家车”人员的概率参考公式：K2P（K2k）0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82820（12分）如图，已知在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，且PAPD，PAPD，AD4，BCAD，ABBCCD2，E为PD的中点（）证明：CE平面PAB；（）求三棱锥EPBC的体积21（12分）已知圆C：x2+
7、y2+2x2y+10和抛物线E：y22px（p0），圆心C到抛物线焦点F的距离为（）求抛物线E的方程；（）不过圆点的动直线l交抛物线于A、B两点，且满足OAOB（i）求证直线l过定点：（ii）设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时直线l的方程22（12分）已知函数f（x）x（a+l）lnx（aR）（）当0al时，求函数f（x）的单调区间：（）是否存在实数a，使f（x）x恒成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由2018-2019学年广东省湛江市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知集合A1，
8、0，1，2，Bx|1x2，则AB（）A0，1Bx|1x2C1，0，1，2D1，2【分析】利用交集定义直接求解【解答】解：集合A1，0，1，2，Bx|1x2，AB0，1故选：A【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）已知i是虚数单位，复数z+i，则|z|（）A5BC2D3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【解答】解：由z+i1+2i，得|z|故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3（5分）已知a20.3，blog2 0.3，clog0.50.3，则（）AabcBacbCc
9、baDcab【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【解答】解：0a20.3201，blog2 0.3log210，clog0.50.3log0.50.51，cab故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（5分）已知向量（4，l），（5，2），且（+）（x），则实数x（）A1B1CD【分析】可以求出，根据即可得出x+2（4x+5）0，解出x即可【解答】解：；x+2（4x+5）0；x1故选：B【点评】考查向量加法、减法和数乘的坐标运算，以及平行向量的坐标关系5（5分）从某校高三级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生
10、体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为（）A30B25C22D20【分析】在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率视力的要求在0.9以上的矩形的面积求和乘以样本容量即可【解答】解：根据题意，视力的要求在0.9以上为50（0.2+0.750.2+0.250.2）20，故选：D【点评】本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力统计初步在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点
11、题6（5分）已知（，），sin，则tan（+）的值为（）ABC3D3【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得tan的值，再利用两角和的正切公式求得tan（）的值【解答】解：（），sin，cos，tan，则tan（）3，故选：C【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，属于基础题7（5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八厘关，初行健步不为难次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地、”则此人第4天走了（）A60里B
12、48里C36里D24里【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第4天走的路程，即可得答案【解答】解：根据题意，记每天走的路程里数为an，可知an是以为公比的等比数列，又由S6378，得S6378，解可得a1192，则a4a1（）324；故选：D【点评】本题考查了函数模型的选择及等比数列的通项公式、等比数列的前n项和，是基础的计算题8（5分）已知两条直线m、n，两个平面、，给出下面四个命题：，m，nmnmn，mn：mn，mn：，mnmn其中正确命题的序号是：（）ABCD【分析】在中，m与n相交、平行或异面；在 中，n或n；在
13、中，由线面垂直的判定定理得n； 在中，由线面垂直的判定定理得n【解答】解：由两条直线m、n，两个平面、，知：在中，m，nm与n相交、平行或异面，故错误；在 中，mn，mn或n，故错误；在中，mn，m由线面垂直的判定定理得n，故正确；在中，mn，m由线面垂直的判定定理得n，故正确故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题9（5分）函数的部分图象大致为（）ABCD【分析】可得f（x）为奇函数，1，排除A、B当x0时，可得，在区间（1，+）上f（x）单调递增，排除D
14、即可【解答】解：f（x）f（x），可得f（x）为奇函数，排除B，1，排除A当x0时，在区间（1，+）上f（x）单调递增，排除D，故选：C【点评】本题考查了函数的图象及性质，属于中档题10（5分）若点（，0）到双曲线C：1（a0，b0）的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）ABC或D【分析】先求出双曲线的渐近线，再由点到bxay0的距离d，即3b22c2，再由离心率公式可得所求值【解答】解：由已知，双曲线的渐进线方程为bxay0，又点到渐近线bxay0的距离为，即3b22c2，又b2c2a2，故选：A【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程以及点到直线的距离公式，考查运
15、算能力，属于基础题11（5分）已知函数f（x）sin（x+），其中0，（0，），其图象关于直线x对称，对满足|f（x1）f（x2）|2的x1，x2，有|x1x2|min，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是（）Ak，k+（kZ）Bk，k+（kZ）Ck+，k+（kZ）Dk+，k+（kZ）【分析】由周期求出，由图象的对称性求出的值，可得f（x）的解析式；再利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，得到g（x）得解析式，再利用余弦函数的单调性，求得函数g（x）的单调递减区间【解答】解：已知函数f（x）sin（x+），其中0，（0，），其图象关于
16、直线x对称，对满足|f（x1）f（x2）|2的x1，x2，有|x1x2|min，2再根据其图象关于直线x对称，可得2+k+，kZ，f（x）sin（2x+）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）sin（2x+）cos2x的图象令2k2x2k+，求得 kxk+，则函数g（x）的单调递减区间是k，k+，kZ，故选：B【点评】本题主要考查由函数yAsin（x+）的部分图象求解析式，由周期求出，由图象的对称性求出的值，函数yAsin（x+）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题12（5分）已知t为常数，函数在区间1，1上的最大值为2，则t的值为（）ABCD【分析】设g（x）xt，根
17、据函数的单调性求出g（x）的值域，再结合函数在区间1，1上的最大值为2，分类讨论即可求出【解答】解：设g（x）xt，易知函数g（x）在1，1上为增函数，xt3t，t，当|3t|t|，则|3t|2，解得t1，或t5，当t5时，|3+5|+5|，故t5舍去，当|3t|t|，则|t|2，解得t，或t，当t时，|3|+|，故t舍去，故t1或t，故选：A【点评】本题考查了函数最值得问题，以及绝对值函数的图象，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）已知f（x）x（4lnx+l），则曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为5xy40【分析】求出函数的导数，然后求解切线的斜
18、率，然后得到切线方程【解答】解：函数f（x）x（4lnx+l），所以函数f（x）4lnx+5，切线的斜率为：k5，切点为：（1，1）所以切线方程为：y15（x1）即：5xy40故答案为：5xy40【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导14（5分）已知x、y满足约束条件，则目标函数z3x+y的最大值为3【分析】先根据约束条件画出可行域，求出各直线的交点，通过分析能求出目标函数的最大值【解答】解：根据约束条件可以画出可行域，如下图所示：由z3x+y，可知直线y3x+z过A（1，0）时，z有最大值为31+03故答案为：3【点评】本题考查了线性归划问题解决此类问
19、题的关键是画出可行域，然后根据目标函数的几何意义求出最值15（5分）已知矩形ABCD中，AB4，BC3，以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为【分析】由题意可得点A，B，C的坐标，设椭圆的标准方程，求得a，进而求得c，则椭圆的离心率可得【解答】解：由题意矩形ABCD中，AB4，BC3，以A、B为焦点，可得点OAOB2，设椭圆的标准方程是 则2c4，c2，则，即所以a4所以椭圆的离心率为：e故答案为：【点评】本题主要考查了椭圆的性质的简单应用，解答的关键是合理利用椭圆的定义解题16（5分）在正三棱锥SABC中，AB2，SA4，E、F分别为AC、SB的中点，过点A的平面平面SBC，平面AB
20、Cl，则异面直线l和EF所成角的余弦值【分析】推导出lBC，取AB中点D，连结DE，DF，则DEBC，从而lDE，进而异面直线l和EF所成角即为DEF或其补角，由此能求出异面直线l和EF所成角的余弦值【解答】解：面SBC，面ABCl，平面SBC平面ABCBC，lBC，取AB中点D，连结DE，DF，则DEBC，lDE，异面直线l和EF所成角即为DEF或其补角，取BC中点O，则SOBC，AOBC，又SOAOO，BC平面SOA，又SA平面SOA，BCSA，DEDF，在RtDEF中，DE，DF2，EF，cosDEF异面直线l和EF所成角的余弦值为故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，
21、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知等差数列an的前n项和为Sn，满足a23，S525（）求数列an的通项公式：（）设bn，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出（2）利用“裂项求和”方法即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，a23，S525a1+d3，d25，解得a11，d2an1+2（n1）2n1（2），数列bn的前n项和Tn+【点评】本题考查了等差数列通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）在AB
22、C中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且ccosB（2ab）cosC（）求角C的大小；（）若AC4，延长AB至D，使BCBD，且AD5，连接CD，求ACD的面积【分析】（）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角C的大小；（）根据图形设BCx，利用余弦定理求出x的值，再求出AB的值，利用正弦定理求出sinA，再计算ACD的面积【解答】解：（）ccosB（2ab）cosC2acosCbcosC，ccosB+bcosC2acosC，即sinCcosB+sinBcosC2sinAcosC，即sin（B+C）2sinAcosC，则sinA2sinAcosC，得cosC，即C；（）如图所
23、示，设BCx，则AB5x，在ABC中，由余弦定理得：（5x）2x2+422x4cos，求得x，即BC，所以AB，在ABC中，由正弦定理得 ，sinA，ACD的面积为：SACADsinA45【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键综合性较强19（12分）进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”，该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的22列联表：赞同限行不赞同限行合计没有私家车9020110有私家车
24、7040110合计16060220（）根据上面的列联表判断，能否有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车”有关；（）为了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“没有私家车”人员的概率参考公式：K2P（K2k）0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【分析】（）根据列联表计算观测值，对照临界值得出结论；（）利用分层抽样法和列举法，求出基本事件数，计算所求的概率值【解答】解：（）根据列联表，计算9.1676.635
25、，所以有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车有关”；（）从不赞同限行的人员中按分层抽样法抽取6人，没有私家车的应抽取2人，记为A、B，有私家车的抽取4人，记为c、d、e、f；从这6人中随机抽取2人，基本事件为：AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种；则抽到的2人中至少有1人“没有私家车”的基本事件为：AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf共9种；故所求的概率为P【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题20（12分）如图，已知在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，
26、且PAPD，PAPD，AD4，BCAD，ABBCCD2，E为PD的中点（）证明：CE平面PAB；（）求三棱锥EPBC的体积【分析】（）取PA的中点F，连接BF，EF，EF为中位线，从而四边形BCEF为平行四边形，得CEBF，由此能证明CE平面PAB（）由E为PD的中点，知点D到平面PBC的距离是点E到平面PBC的距离的两倍，则由此能证明三棱锥EPBC的体积【解答】证明：（）取PA的中点F，连接BF，EF在PAD中，EF为中位线，则，又，故，则四边形BCEF为平行四边形，得CEBF，又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB解：（）由E为PD的中点，知点D到平面PBC的距离是点E到平面P
27、BC的距离的两倍，则由题意知，四边形ABCD为等腰梯形，且ABBCCD2，AD4，其高为，则取AD的中点O，在等腰直角PAD中，有，POAD，又平面PAD平面ABCD，故PO平面ABCD，则点P到平面ABCD的距离即为PO2，故三棱锥EPBC的体积【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21（12分）已知圆C：x2+y2+2x2y+10和抛物线E：y22px（p0），圆心C到抛物线焦点F的距离为（）求抛物线E的方程；（）不过圆点的动直线l交抛物线于A、B两点，且满足OAOB（i）求证直
28、线l过定点：（ii）设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时直线l的方程【分析】（）求得圆心C和抛物线的焦点F，由两点的距离公式，计算可得p，进而得到抛物线方程；（）（i）设直线l的方程为xmy+t，A（x1，y1），B（x2，y2），利用直线和抛物线的位置关系，建立方程组，进一步利用一元二次方程根与系数的关系建立等量关系，可得直线l恒过定点N；（ii）当CNl时，动点M经过圆心C（1，1）时到直线l的距离取最大值，利用两直线垂直的条件求出直线的方程【解答】解：（）圆C：x2+y2+2x2y+10，可得圆心C（1，1），半径r1，抛物线E：y22px（p0）的焦点F（，0），准
29、线方程为x，圆心C到抛物线焦点F的距离为，即有，解得p6，即抛物线方程为y212x；（）（i）证明：设直线l的方程为xmy+t，A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：y212my12t0，所以y1+y212m，y1y212t由于OAOB则x1x2+y1y20即（m2+1）y1y2+mt（y1+y2）+t20整理得t212t0，由于t0，解得t12故直线的方程为xmy+12，直线经过定点N（12，0）（ii）当CNl时，即动点M经过圆心C（1，1）时到直线l的距离取最大值当CPl时，即动点M经过圆心C（1，1）时到动直线l的距离取得最大值kMPkCP，则m此时直线l的方程为：xy+12
30、，即13xy1560【点评】本题考查的知识要点：抛物线的方程的求法，直线和抛物线的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用，直线的方程的求法22（12分）已知函数f（x）x（a+l）lnx（aR）（）当0al时，求函数f（x）的单调区间：（）是否存在实数a，使f（x）x恒成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由【分析】（）确定函数f（x）的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负确定取得函数的单调区间；（）f（x）x恒成立可转化为a+（a+1）xlnx0恒成立，构造函数（x）a+（a+1）xlnx，则只需（x）0在x（0，+）恒成立即可，求导函数，分类讨论，即可求出实数
31、a的取值范围【解答】解：（）函数f（x）的定义域为（0，+），（2分）（1）当0a1时，由f（x）0得，0xa或1x+，由f（x）0得，ax1故函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+），单调减区间为（a，1）（4分）（2）当a1时，f（x）0，f（x）的单调增区间为（0，+）（5分）（）f（x）x恒成立可转化为a+（a+1）xlnx0恒成立，令（x）a+（a+1）xlnx，则只需（x）0在x（0，+）恒成立即可，（6分）求导函数可得：（x）（a+1）（1+lnx）当a+10时，在时，（x）0，在时，（x）0（x）的最小值为，由得，故当时f（x）x恒成立，（9分）当a+10时，（x）1，（x）0在x（0，+）不能恒成立，（11分）当a+10时，取x1，有（1）a1，（x）0在x（0，+）不能恒成立，（13分）综上所述当时，使f（x）x恒成立（14分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，同时考查学生分析解决问题的能力，属于中档题