1、2018-2019学年广东省湛江市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知R为实数集，集合Ax|x24x50，则RA（）A（1，5）B1，5C（5，1）D5，12（5分）已知i是虚数单位，设2+ai（a、b为实数），则a+bi在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）在等差数列an中，若a6+a8+a1072，则2a10a12的值为（）A6B16C24D604（5分）已知向量（），（），则ABC（）A30B45C60D905（5分）已知alog30.3，b3
2、0.3，c0.33，则（）AabcBacbCcabDbca6（5分）下列命题中正确的是（）A若直线l上有无数个点不在平面内，则lB如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行C若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行D垂直于同一个平面的两条直线互相平行7（5分）曲线1与曲线1（k9）的（）A长轴长相等B短轴长相等C离心率相等D焦距相等8（5分）已知曲线yaex+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y2x+b，则（）Aae1，b1Bae1，b1Cae，b1Dae，b19（5分）已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l若l与双曲线1（a0，b0）的两条渐近线分别交于
3、点A和点B，且|AB|4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（）ABC2D10（5分）4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（）ABCD11（5分）我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于（）ABCD12（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则与平面A1C1B平行的平面截此正方体所得截面面积的最大值为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）在
4、各项均为正数的等比数列an中，若log2a2+log2a81，则a3a7 14（5分）（2x）8的展开式中的常数项为 15（5分）已知f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）eax若f（ln2）8，则a 16（5分）所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数（也称为完备数、玩美数），如61+2+3；281+2+4+7+14；4961+2+4+8+16+31+62+124+248，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如621+22，2822+23+24，按此规律，8128可表示为 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（
5、10分）设p：“方程x2+y2a+4表示圆”，q：“方程1表示焦点在x轴上的双曲线”，如果“pq”是假命题且“pq”是真命题，求实数a的取值范围18（12分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，向量（2sinA，），（cos2A，2cos21），且（1）求A的大小；（2）如果a2，求ABC面积的最大值19（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（，
6、2），其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2（i）利用该正态分布，求P（187.8Z212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX附：12.2若ZN（，2）则P（Z+）0.6826，P（2Z+2）0.954420（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ADDC，ABDC，AB2AD2CD2，点E是PB的中点（）证明：平面EAC平面PBC；（）若PC2，求二面角PACE的余弦值21（12分）已知函数f（x）xlnx（）求f（x）的最小值；（
7、）若对所有x1都有f（x）ax1，求实数a的取值范围22（12分）如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BFx轴，|BF|（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：xty+是椭圆C的一条切线，点M（，y1），点N（，y2）是切线l上两个点，证明：当t、变化时，以 MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标2018-2019学年广东省湛江市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知R为实数集，集合Ax|x24x50，则RA
8、（）A（1，5）B1，5C（5，1）D5，1【分析】由R为实数集，先求出集合A，由此能求出RA【解答】解：R为实数集，集合Ax|x24x50x|x1或x5，RAx|1x51，5故选：B【点评】本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）已知i是虚数单位，设2+ai（a、b为实数），则a+bi在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b得答案【解答】解：由2+ai，得3+bi（2+ai）ia+2i，则a+bi在复平面内对应的点的坐标为（3，2），
9、在第二象限故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题3（5分）在等差数列an中，若a6+a8+a1072，则2a10a12的值为（）A6B16C24D60【分析】由等差数列通项公式求出a824，2a10a122（a1+9d）（a1+11d）a1+7da8，由此能求出结果【解答】解：在等差数列an中，a6+a8+a1072，a6+a8+a103a872，解得a824，2a10a122（a1+9d）（a1+11d）a1+7da824故选：C【点评】本题考查等项数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4（5分）已知向量（），（），则A
10、BC（）A30B45C60D90【分析】由已知向量的坐标求出向量的模，再求出，代入数量积求夹角公式得答案【解答】解：（），（），则cosABCcos，则ABC60故选：C【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查由数量积求向量的夹角，是中档题5（5分）已知alog30.3，b30.3，c0.33，则（）AabcBacbCcabDbca【分析】容易得出，从而得出a，b，c的大小关系【解答】解：log30.3log310，30.3301，00.331；acb故选：B【点评】考查对数函数和指数函数的单调性，增函数的定义6（5分）下列命题中正确的是（）A若直线l上有无数个点不在平面内，则lB如果两条平
11、行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行C若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行D垂直于同一个平面的两条直线互相平行【分析】在A中，l与相交或平行；在B中，另一条也与这个平面平行或另一条包含于这个平面；在C中，这两条直线相交、平行或异面；在D中，由线面垂直的性质定理得垂直于同一个平面的两条直线互相平行【解答】解：在A中，直线l上有无数个点不在平面内，则l与相交或平行，故A错误；在B中，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或另一条包含于这个平面，故B错误；在C中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线相交、平行或异面，故C错误；在D中
12、，由线面垂直的性质定理得垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关第等基础知识，考查运算求解能力，是中档题7（5分）曲线1与曲线1（k9）的（）A长轴长相等B短轴长相等C离心率相等D焦距相等【分析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断【解答】解：曲线1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8曲线1（k9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8对照选项，则D正确故选：D【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题8（5分）已知曲线yaex+xl
13、nx在点（1，ae）处的切线方程为y2x+b，则（）Aae1，b1Bae1，b1Cae，b1Dae，b1【分析】求得函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得ae+1+02，可得a，进而得到切点，代入切线方程可得b的值【解答】解：yaex+xlnx，yaex+lnx+1，由在点（1，ae）处的切线方程为y2x+b，可得ae+1+02，解得ae1，又切点为（1，1），可得12+b，即b1故选：B【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是基础题9（5分）已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l若l与双曲线1（a0，b0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|O
14、F|（O为原点），则双曲线的离心率为（）ABC2D【分析】推导出F（1，0），准线l的方程为x1，|AB|，|OF|1，从而b2a，进而c，由此能求出双曲线的离心率【解答】解：抛物线y24x的焦点为F，准线为lF（1，0），准线l的方程为x1，l与双曲线1（a0，b0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|（O为原点），|AB|，|OF|1，b2a，c，双曲线的离心率为e故选：D【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题10（5分）4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每
15、项活动至少有一名同学参加的概率为（）ABCD【分析】先求出基本事件总数n，再求出每项活动至少有一名同学参加，包含的基本事件个数，由此能求出每项活动至少有一名同学参加的概率【解答】解：4名同学参加3项不同的课外活动，每名同学可自由选择参加其中的一项，基本事件总数n3481，每项活动至少有一名同学参加，包含的基本事件个数m36，每项活动至少有一名同学参加的概率p故选：A【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用11（5分）我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为2
16、5，直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于（）ABCD【分析】由已知两正方形的面积分别求出两正方形的边长，根据小正方形的边长等于直角三角形的长直角边减去短直角边，利用三角函数的定义表示出5cos5sin1，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简可得sin2的值，然后根据的范围求出2的范围即可判断出cos2的正负，利用同角三角函数间的基本关系由sin2即可求出cos2的值【解答】解：大正方形面积为25，小正方形面积为1，大正方形边长为5，小正方形的边长为15cos5sin1，cossin两边平方得：1sin2，sin2是直角三角形中较小的锐角，0，02cos2故
17、选：B【点评】本题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值，是中档题12（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则与平面A1C1B平行的平面截此正方体所得截面面积的最大值为（）ABCD【分析】根据与平面A1C1B平行的平面截此正方体所得截面分析得到面积最大的是正六边形，从而可求最大面积【解答】解：如图示，分别取边AB，AA1，A1 D1，D1 C1，C1 C，CB的中点MNEFGH，显然平面MNEFGH平面A1 C1 B，易知当截面为平面MNEFGH时，截面面积最大，此时，平面MNEFGH为正六边形，边长，故正六边形面积为S6，故选：A【点评】本题考
18、查空间想象能力，正方体截面最大问题，属于难题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）在各项均为正数的等比数列an中，若log2a2+log2a81，则a3a72【分析】由对数的运算性质结合已知得到log2（a2a8）1，求出a2a82，再由等比数列的性质得答案【解答】解：由log2a2+log2a81，得log2（a2a8）1，a2a82数列an是等比数列，a3a7a2a82故答案为：2【点评】本题考查了等比数列的性质，考查了对数的运算性质，是中低档题14（5分）（2x）8的展开式中的常数项为28【分析】本题可根据二项式的展开式的通项进行计算，然后令x的指数为0即可得到r的
19、值，代入r的值即可算出常数项【解答】解：由题意，可知：此二项式的展开式的通项为：Tr+1（2x）8r28r（）rx8r（）r（1）r284rx84r当84r0，即r2时，Tr+1为常数项此时T2+1（1）2284228故答案为：28【点评】本题主要考查二项式的展开式的通项，通过通项中未知数的指数为0可算出常数项本题属基础题15（5分）已知f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）eax若f（ln2）8，则a3【分析】奇函数的定义结合对数的运算可得结果【解答】解：f（x）是奇函数，f（ln2）8，又当x0时，f（x）eax，f（ln2）ealn28，aln2ln8，a3故答案为：3【点评】本题主要考
20、查函数奇偶性的应用，对数的运算性质，属于基础题16（5分）所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数（也称为完备数、玩美数），如61+2+3；281+2+4+7+14；4961+2+4+8+16+31+62+124+248，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如621+22，2822+23+24，按此规律，8128可表示为26+27+212【分析】依据定义，结合可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，即可得出结论【解答】解：由题意，2n1是质数，2n1（2n1）是完全数，令n7，可得一个四位完全数为64（1271）8128，812826+27+212，故答案为
21、：26+27+212【点评】本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）设p：“方程x2+y2a+4表示圆”，q：“方程1表示焦点在x轴上的双曲线”，如果“pq”是假命题且“pq”是真命题，求实数a的取值范围【分析】由题意分别求得p与q为真命题的a的范围，再由复合命题的真假判断列式求解【解答】解：方程x2+y2a+4表示圆，则a+40，即a4；方程1表示焦点在x轴上的双曲线，则，即1a2又“pq”是假命题且“pq”是真命题，则p与q一真一假若p假q真，则，得a；若p真q假，则，解得4
22、a1或a2实数a的取值范围是4a1或a2【点评】本题考查复合命题的真假判断，考查圆与双曲线的标准方程，是基础题18（12分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，向量（2sinA，），（cos2A，2cos21），且（1）求A的大小；（2）如果a2，求ABC面积的最大值【分析】（1）由条件利用两个向量共线的性质，二倍角公式求得tan2A的值，可得A的值（2）由条件利用余弦定理、基本不等式求得bc的最大值，可得ABC面积bcsinA的最大值【解答】解：（1）ABC中，向量（2sinA，），（cos2A，2cos21），且，2sinA（2cos21）+cos2A0，即2sin
23、A（cosA）+cos2A0，即sin2Acos2A，即tan2AA为锐角，故02A180，2A120，A60（2）如果a2，ABC中，由余弦定理可得a24b2+c22bccosA2bcbcbc，bc4，故ABC面积bcsinA的最大值为4【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，二倍角公式，余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题19（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布
24、N（，2），其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2（i）利用该正态分布，求P（187.8Z212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX附：12.2若ZN（，2）则P（Z+）0.6826，P（2Z+2）0.9544【分析】（）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（）（i）由（）知ZN（200，150），从而求出P（187.8Z212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知XB（100，0.6826），运用EXnp即可求得【解答】解：（）抽取产品的质量指标值的样
25、本平均数和样本方差s2分别为：1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02200，s2（30）20.02+（20）20.09+（10）20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02150（）（i）由（）知ZN（200，150），从而P（187.8Z212.2）P（20012.2Z200+12.2）0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知XB（100，0.6826），所以EX1000.682668.26【点评】本题主要考查离散型随机
26、变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ADDC，ABDC，AB2AD2CD2，点E是PB的中点（）证明：平面EAC平面PBC；（）若PC2，求二面角PACE的余弦值【分析】（）推导出ACPC，ACBC，从而AC平面PBC，由此能证明平面EAC平面PBC（）以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角PACE的余弦值【解答】解：（）证明：在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ADDC，ABDC，AB2AD2CD2，点E是PB的中
27、点，ACPC，ACBC，AC2+BC2AB2，ACBC，PCBCC，AC平面PBC，AC平面PAC，平面EAC平面PBC（）以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0），C（0，0，0），B（，0，0），P（0，0，2），E（，0，1），（0，0），（，0，1），平面PAC的法向量（1，0，0），设平面ACE的法向量（x，y，z），则，取x2，得（2，0，），设二面角PACE的平面角为，则cos二面角PACE的余弦值为【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题21（12分）已
28、知函数f（x）xlnx（）求f（x）的最小值；（）若对所有x1都有f（x）ax1，求实数a的取值范围【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值（2）将f（x）ax1在1，+）上恒成立转化为不等式对于x1，+）恒成立，然后令，对函数g（x）进行求导，根据导函数的正负可判断其单调性进而求出最小值，使得a小于等于这个最小值即可【解答】解：（）f（x）的定义域为（0，+），f（x）的导数f（x）1+lnx令f（x）0，解得；令f（x）0，解得从而f（x）在单调递减，在单调递增所以，当时，f（x）取得最小值（）依题意，得f（x）ax1在1，+）上恒成立
29、，即不等式对于x1，+）恒成立令，则当x1时，因为，故g（x）是1，+）上的增函数，所以g（x）的最小值是g（1）1，从而a的取值范围是（，1【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、根据导数求函数的最值导数是高等数学下放到高中的内容，是每年必考的热点问题，要给予重视22（12分）如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BFx轴，|BF|（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：xty+是椭圆C的一条切线，点M（，y1），点N（，y2）是切线l上两个点，证明：当t、变化时，以 MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标【分析
30、】（1）根据已知条件列出关于a，b，c的方程组求解即可；（2）根据条件将直线方程xty+代入椭圆的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理得到交点M，N纵坐标满足的关系，然后根据题意写出以MN为直径的圆的方程，则求出圆与x轴交点的坐标，只要是常数即可【解答】解：（1）由题意设椭圆方程为焦点F（c，0），因为，将点B（c，）代入方程得由结合a2b2+c2得：故所求椭圆方程为（2）由得（2+t2）y2+2ty+220l为切线，（2t）24（t2+2）（22）0，即t22+20设圆与x轴的交点为T（x0，0），则，MN为圆的直径，因为，所以，代入及得，要使上式为零，当且仅当，解得x01，所以T为定点，故动圆过x轴上的定点是（1，0）与（1，0），即两个焦点【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程的求法以及直线与圆、椭圆的位置关系等问题的处理方法，属于综合题，有一定难度