1、2018-2019学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确，请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑1（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足1+zzi，则复数z对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）在一项调查中有两个相关变量x和y，如图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么最适宜作为y关于x的回归方程的模型是（）Aya+bxByc+dCym+nx2Dyp+qcx（q0）3（5分）对于问题：“已知x，y，z是互不相同的正数，求证：三个数x+，y+，z+至少有一个
2、数大于2”，用反证法证明上述问题时，要做的假设是（）Ax+，y+，z+至少有一个不小于2Bx+，y+，z+至少有一个不大于2Cx+，y+，z+都小于等于2Dx+，y+，z+都大于等于24（5分）根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下雨的概率为（）ABCD5（5分）若身高xcm和体重ykg的回归模型为y0.849x85.712，则下列叙述正确的是（）A身高与体重是负相关B回归直线必定经过一个样本点C身高170cm的人体重一定是58.618kgD身高与体重是正相关6（5分）已知，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（
3、x）的图象是（）ABCD7（5分）已知随机变量X满足E（2X+3）7，D（2X+3）16，则下列选项正确的是（）AE（X），D（X）BE（X）2，D（X）4CE（X）2，D（X）8DE（X），D（X）88（5分）直线yx与曲线y围成的封闭图形的面积为（）ABCD9（5分）高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A16种B18种C37种D48种10（5分）（x+）（2x）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为（）A20B40C20D4011（5分）分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，1可以分拆为若干
4、个不同的单位分数之和：1+，1+，1+，依此类推可得：1+，则mn（）A228B240C260D27312（5分）若函数f（x），g（x），且g（x）有三个零点，则a的取值范围为（）A0，2）B0，2C3，0D2，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡中相应的位置上13（5分）（sinx+3x2）dx 14（5分）若曲线yx3ax（aR）在点x01处的切线斜率为1，则该切线方程为 15（5分）设A，B两队进行某类知识竞赛，竞赛为四局，每局比赛没有平局，前三局胜者均得1分，第四局胜的一队得2分，各局负者都得0分，假设每局比赛A队获胜的
5、概率均为，且各局比赛相互独立，则比赛结束时A队得分比B队高3分的概率为 16（5分）已知函数f（x）3sin2x+sinx，x（0，），则函数f（x）的最大值为 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知i是虚数单位，复数z11ai（aR），复数z2的共轭复数34i（1）若z1+z2R，求实数a的值；（2）若是纯虚数，求|z1|18（12分）已知函数f（x）x3ax2+bx+1，当x3时，函数f（x）有极小值8（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在0，4上的值域19（12分）某仪器配件质量采用M值进行衡量某
6、研究所采用不同工艺，开发甲、乙两条生产线生产该配件，为调查两条生产线的生产质量，检验员每隔30min分别从两条生产线上随机抽取一个配件，测量并记录其M值下面是甲、乙两条生产线各抽取的30个配件M值茎叶图经计算得xi40.5，s甲12.3，39.5，s乙12.5，其中xi，yi（i1，2，3，30）分别为甲、乙两生产线抽取的第i个配件的M值（1）若规定M（3s，+3s）的产品质量等级为合格，否则为不合格，已知产品不合格率需低于5%，生产线才能通过验收，利用样本估计总体，分析甲、乙两条生产线是否可以通过验收；（2）若规定M（s，+s）时，配件质量等级为优等，否则为不优等试完成下面的22列联表，并判
7、断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“配件质量等级与生产线有关”？产品质量等级优等品质量等级不优等合计甲生产线 乙生产线 合计 附：K2P（K2k0）0.100.050.010.001k02.7063.8416.63510.82820（12分）已知函数f（x）1nxax（aR）（1）若函数f（x）在xx0处的切线方程为x+y+10，求a的值；（2）若函数f（x）无零点，求a的取值范围21（12分）2021年，广东省将实施新高考，2018年暑期入学的高一学生是新高
8、考首批考生，新高考不再分文理科，采用3+1+2模式，其中“3”是指语文、数学、外语：“1”是指在物理和历史中必选一科（且只能选一科）；“2”是指在化学，生物，政治，地理四科中任意选两科；为积极推进新高考，某中学将选科分为两个环节，第一环节：学生在物理和历史两科中选择一科；第二环节：学生在化学，生物，政治，地理四科中任意选两科若一个学生两个环节的选科都确定，则称该学生的选考方案确定：否则，称该学生选考方案待确定该学校为了解高一年级1000名学生选考科目的意向，随机选取50名学生进行了一次调查，这50人第一环节的选考科目都确定，有32人选物理，18人选历史：第二环节的选考科目己确定的有30人，待确
9、定的有20人具体调查结果如表：选考方案确定情况化学生物政治地理物理选考方案确定的有18人161154选考方案待确定的有14人5500历史选考方案确定的有12人35412选考方案待确定的有6人0032（1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考政治的学生有多少人？（2）从选考方案确定的12名历史选考生中随机选出2名学生，设随机变量X，求X的分布列及数学期望E（X）（3）在选考方案确定的18名物理选考生中，有11名学生选考方案为物理、化学、生物，试问剩余7人中选考方案为物理、政治、地理的人数，（只需写出结果）22（12分）已知函数f（x）e2x+aex+（a2）x（1）讨论f（x）的单调性；（
10、2）若f（x），求实数a的取值范围2018-2019学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确，请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑1（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足1+zzi，则复数z对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：1+zzi，z，复数z对应的点的坐标为（，），在第三象限故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2（5分）在一项调
11、查中有两个相关变量x和y，如图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么最适宜作为y关于x的回归方程的模型是（）Aya+bxByc+dCym+nx2Dyp+qcx（q0）【分析】由散点图可得图象是抛物线形状，由此得出作为y关于x的回归方程类型【解答】解：由散点图可知，图象是抛物线形状，符合函数的类型是yc+d，所以适宜作为y关于x的回归方程类型的是yc+d故选：B【点评】本题考查了散点图的应用问题，也考查了数形结合的数学思想，是基础题3（5分）对于问题：“已知x，y，z是互不相同的正数，求证：三个数x+，y+，z+至少有一个数大于2”，用反证法证明上述问题时，要做的假设是（）Ax+，y
12、+，z+至少有一个不小于2Bx+，y+，z+至少有一个不大于2Cx+，y+，z+都小于等于2Dx+，y+，z+都大于等于2【分析】求出要证命题的否定，可得结论【解答】解：“已知x，y，z是互不相同的正数，求证：三个数x+，y+，z+至少有一个数大于2”，用反证法证明时，应假设它的反面成立而它的反面为：三个数x+，y+，z+都小于或等于2，故选：C【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题，命题的否定，属于基础题4（5分）根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下雨的概率为（）ABCD【分析】利用条件概率的计算公式即可得出【解答】解：设
13、事件A表示宜都三月份吹东风，事件B表示三月份下雨根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P（B|A）故选：A【点评】正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键5（5分）若身高xcm和体重ykg的回归模型为y0.849x85.712，则下列叙述正确的是（）A身高与体重是负相关B回归直线必定经过一个样本点C身高170cm的人体重一定是58.618kgD身高与体重是正相关【分析】由线性回归直线方程可得回归系数大于0，正相关，且经过样本中心，且y为估计值，即可得到结论【解答】解：y0.849x85.712可得0.8490，可得身高与体重是正相关，A错误，D正确；回归直可以不经过每一个样本
14、点，一定过样本中心点（，），故B错误；若x170cm，可得0.84917085.71258.618kg，即体重可能是58.618kg，故C错误故选：D【点评】本题考查线性回归中心方程和运用，考查方程思想和估计思想，属于基础题6（5分）已知，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（x）的图象是（）ABCD【分析】求的导数，得f（x）的表达式，判断f（x）的奇偶性和对称性，然后设g（x）f（x），求g（x），研究函数g（x）的单调性，利用极限思想求出当x0时，f（x）2，利用排除法进行求解即可【解答】解：函数的导数f（x）x+sinx，设g（x）f（x），则g（x）是奇函数，图象关于
15、原点对称，排除C，D：g（x）1+cosx0，即函数f（x）为增函数，当x0且x0，g（x）1+cosx2，故排除B，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，求出函数的导数，利用函数的对称性和极限思想是解决本题的关键7（5分）已知随机变量X满足E（2X+3）7，D（2X+3）16，则下列选项正确的是（）AE（X），D（X）BE（X）2，D（X）4CE（X）2，D（X）8DE（X），D（X）8【分析】利用二项分布的期望与方差公式，转化求解即可【解答】解：E（2X+3）2E（X）+37；D（2X+3）4D（X）16故E（X）2，D（X）4故选：B【点评】考查二项分布的期望与方差的求法，考
16、查学生的计算能力8（5分）直线yx与曲线y围成的封闭图形的面积为（）ABCD【分析】利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示面积，然后计算即可【解答】解：yx与曲线y围成的封闭图形的面积S故选：D【点评】本题考查了定积分的几何意义的应用，关键是正确利用定积分表示面积，属基础题9（5分）高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A16种B18种C37种D48种【分析】根据题意，用间接法：先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再排除甲工厂无人去的情况，由分步计数原理可得其方案数目，由事件之间的关系，计算可得答案【解答】解：根
17、据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有44464种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有33327种方案；则符合条件的有642737种，故选：C【点评】本题考查计数原理的运用，本题易错的方法是：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有34448种方案；显然这种方法中有重复的计算；解题时特别要注意10（5分）（x+）（2x）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为（）A20B40C20D40【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x1，建立a的方程，解出a的值，然后再由规律求出
18、常数项【解答】解：令x1则有1+a2，得a1，故二项式为（x+）（2x）5故其常数项为22C53+23C5240故选：D【点评】本题考查二项式系数的性质，解题关键是掌握二项式系数的公式，以及根据二项式的形式判断出常数项的取法，理解题意，作出正确判断很重要11（5分）分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，1可以分拆为若干个不同的单位分数之和：1+，1+，1+，依此类推可得：1+，则mn（）A228B240C260D273【分析】由题意，m13，n4520，即可得出结论【解答】解：由题意，m13，n4520，mn1320260，故选：C【点评】本题考查归纳推理，考查学生的计算能力，求得m，n的
19、值是关键12（5分）若函数f（x），g（x），且g（x）有三个零点，则a的取值范围为（）A0，2）B0，2C3，0D2，+）【分析】先作yf（x）的图象与直线yx+2的图象在同一直角坐标系中的位置图象，再结合函数与方程的综合应用即可得解【解答】解：设h（x），（x0）则h（x），则h（x）在（0，1）为增函数，在（1，+）为减函数，则yf（x）的图象与直线yx+2的图象在同一直角坐标系中的位置如图所示，由图可知，当g（x）有三个零点，则a的取值范围为：0a2，故选：A【点评】本题考查了作图能力及函数与方程的综合应用，属中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡中
20、相应的位置上13（5分）（sinx+3x2）dx23【分析】直接利用定积分运算法则求解即可【解答】解：（sinx+3x2）dx（cos+3）cos（）+（）323故答案为：【点评】本题考查了定积分，关键是求解被积函数的原函数，属基础题14（5分）若曲线yx3ax（aR）在点x01处的切线斜率为1，则该切线方程为xy20【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标，进而得到切点坐标，由点斜式方程可得切线的方程【解答】解：yx3ax的导数为y3x2a，在点x01处的切线斜率为1，可得3a1，所以a2，切点纵坐标为：1，可得切点为（1，1），即有切线的方程为y+11（x1），即为x
21、y20故答案为：xy20【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题15（5分）设A，B两队进行某类知识竞赛，竞赛为四局，每局比赛没有平局，前三局胜者均得1分，第四局胜的一队得2分，各局负者都得0分，假设每局比赛A队获胜的概率均为，且各局比赛相互独立，则比赛结束时A队得分比B队高3分的概率为【分析】比赛结束时A队得分比B队高3分是指前3局比赛中A两胜一负，第4局比赛A胜，由此能求出比赛结束时A队得分比B队高3分的概率【解答】解：比赛结束时A队得分比B队高3分是指前3局比赛中A两胜一负，第4局比赛A胜，比赛结束时A队得分比B队高3
22、分的概率：P故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16（5分）已知函数f（x）3sin2x+sinx，x（0，），则函数f（x）的最大值为【分析】对f（x）求导，然后令cosxt，判断f'（t）的单调性，再根据t的值确定函数f（x）的最大值【解答】解：f（x）3sin2x+sinx，f'（x）6cos2x+cosx6（2cos2x1）+cosx（3cosx2）（4cosx+3），令cosxt，x（0，），tcosx（0，1），令g（t）f'（x），则g（t）（3t2）（4t+3）
23、，令g（t）0，则t，当0t时，g（t）0，当t1时，g（t）0，g（t）在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增，函数ycosx在（0，）上单调递减，根据复合函数的单调性可知，当t，即cosx，sinx时，f（x）max6sinxcosx+sinx，函数f（x）的最大值为故答案为：【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值和三角函数求值，考查转化思想以及计算能力，属中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知i是虚数单位，复数z11ai（aR），复数z2的共轭复数34i（1）若z1+z2R，求实数a的值；（2）若是纯虚数，求|
24、z1|【分析】（1）由已知求得z2，再求出z1+z2，由虚部为0求得a值；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值，再由复数模的计算公式求解【解答】解：（1）34i，z23+4i，又z11ai，z1+z21ai+3+4i4+（4a）i，由z1+z2R，得4a0，即a4；（2）是纯虚数，即a，则|z1|【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题18（12分）已知函数f（x）x3ax2+bx+1，当x3时，函数f（x）有极小值8（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在0，4上的值域【分析】（1）利用x3是函数f（x）有极小
25、值8，有f（3）8，且f（3）0，可求得a、b，从而可得f（x）的解析式；（2）由（1）可求得f（x）在0，4上的最值，从而可得f（x）在0，4上的值域【解答】解：（1）函数f（x）x3ax2+bx+1，则：f（x）x22ax+b，因为x3是函数f（x）有极小值8所以：f（3）33a32+3b+18，且f（3）326a+b0，解得：a1，b3，所以：f（x）x3x23x+1；（2）有（1）可知：f（x）x3x23x+1，求f（x）在0，4上的值域；所以f（x）x22x3（x+1）（x3），f（x）0时，x1（舍去），x3，当f（x）0时，x3，函数f（x）在（3，+）上单调递增，当f（x）0时
26、，0x3，函数f（x）在（0，3）上单调递减，所以：f（3）8，f（0）1，f（4）；所以：f（x）在0，4上有：8f（x）1，即：f（x）的值域为：8，1【点评】考查利用导数研究函数的极值和最值来判断函数在区间的值域问题，属于中档题19（12分）某仪器配件质量采用M值进行衡量某研究所采用不同工艺，开发甲、乙两条生产线生产该配件，为调查两条生产线的生产质量，检验员每隔30min分别从两条生产线上随机抽取一个配件，测量并记录其M值下面是甲、乙两条生产线各抽取的30个配件M值茎叶图经计算得xi40.5，s甲12.3，39.5，s乙12.5，其中xi，yi（i1，2，3，30）分别为甲、乙两生产线抽
27、取的第i个配件的M值（1）若规定M（3s，+3s）的产品质量等级为合格，否则为不合格，已知产品不合格率需低于5%，生产线才能通过验收，利用样本估计总体，分析甲、乙两条生产线是否可以通过验收；（2）若规定M（s，+s）时，配件质量等级为优等，否则为不优等试完成下面的22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“配件质量等级与生产线有关”？产品质量等级优等品质量等级不优等合计甲生产线28230乙生产线24630合计52860附：K2P（K2k0）0.100.050.010.001k02.7063.8416.63510.828【分析】（1）甲生产线的不合格率为，小于5%，故甲生产线可
28、以通过验收乙生产线的不合格率约为，大于5%，故乙生产线不能通过验收；（2）根据提供的数据得到列联表；计算出k2，根据临界值表可得答案【解答】解：（1）由题意可知，3.6，+3s甲77.4，依题意，甲生产线抽取的30个配件中，不合格的有1个，利用样本估计总体，甲生产线的不合格率为，小于5%，故甲生产线可以通过验收3s乙2，+3s乙77，依题意，乙生产线抽取的30个得配件中，不合格的有2个，利用样本估计总体，乙生产线的不合格率约为，大于5%，故乙生产线不能通过验收（2）由提供的数据可知，s甲28.2，+S甲52.8，s乙27，+s乙52，统计提供的数据可知，得到下面的22列联表： 产品等级优等 产
29、品等级不优等小计 甲生产线 282 30乙生产线 24 6 30小计 528 60k22.308，2.3082.706，故在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为“配件质量等级与生产线有关”【点评】本题考查了独立性检验，考查计算能力，属中档题20（12分）已知函数f（x）1nxax（aR）（1）若函数f（x）在xx0处的切线方程为x+y+10，求a的值；（2）若函数f（x）无零点，求a的取值范围【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由切线的方程可得a，x0的方程，进而得到a；（2）求得f（x）的导数，讨论a0，a0，a0，求得单调性和极值，最值，结合图象可得所求范围【解答】解：（
30、1）函数f（x）1nxax的导数为f（x）a，由f（x）在xx0处的切线方程为x+y+10，可得a1，1x0lnx0ax0，解得a2，x01；（2）函数f（x）1nxax的导数为f（x）a，当a0，由x0可得f（x）0，即f（x）在x0递增，f（x）有且只有一个零点；当a0时，由x，f（x）递减，0x，f（x）递增，可得x处f（x）取得极大值，且为最大值ln1，由题意可得ln10，解得a，综上可得a时，函数f（x）无零点【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查方程思想和分类讨论思想，考查运算能力，属于中档题21（12分）2021年，广东省将实施新高考，2018年暑期入
31、学的高一学生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用3+1+2模式，其中“3”是指语文、数学、外语：“1”是指在物理和历史中必选一科（且只能选一科）；“2”是指在化学，生物，政治，地理四科中任意选两科；为积极推进新高考，某中学将选科分为两个环节，第一环节：学生在物理和历史两科中选择一科；第二环节：学生在化学，生物，政治，地理四科中任意选两科若一个学生两个环节的选科都确定，则称该学生的选考方案确定：否则，称该学生选考方案待确定该学校为了解高一年级1000名学生选考科目的意向，随机选取50名学生进行了一次调查，这50人第一环节的选考科目都确定，有32人选物理，18人选历史：第二环节的选考科目己确
32、定的有30人，待确定的有20人具体调查结果如表：选考方案确定情况化学生物政治地理物理选考方案确定的有18人161154选考方案待确定的有14人5500历史选考方案确定的有12人35412选考方案待确定的有6人0032（1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考政治的学生有多少人？（2）从选考方案确定的12名历史选考生中随机选出2名学生，设随机变量X，求X的分布列及数学期望E（X）（3）在选考方案确定的18名物理选考生中，有11名学生选考方案为物理、化学、生物，试问剩余7人中选考方案为物理、政治、地理的人数，（只需写出结果）【分析】（1）利用分层抽样原理求得对应的学生人数；（2）由题意知随机
33、变量的可能取值，计算对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望值；（3）由化学中去除11人后余5人，结合选政治和地理的人数，可得所求【解答】解：（1）设该学校高一年级选考方案确定的学生中选考政治的学生人数为x，则x1000180（人），所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考政治有180人；（2）P（X0），P（X1）， X 0 1 P E（X）0+1；（3）剩余7人中选考方案为物理、政治、地理的人数为2【点评】本题考查了分层抽样的计算，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是中档题22（12分）已知函数f（x）e2x+aex+（a2）x（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x），求
34、实数a的取值范围【分析】（1）f（x）2e2x+aex+（a2）2ex+（a2）（ex+1）对a分类讨论即可得出函数f（x）的单调性（2）由（1）可得：a2时，不满足f（x），由a2，可得f（x）minf（ln（1），即可解出【解答】解：（1）f（x）2e2x+aex+（a2）2ex+（a2）（ex+1）分类讨论：a2时，f（x）0，函数f（x）在R上单调递增a2时，令f（x）0，解得xln（1）则函数f（x）在（，ln（1）上单调递减，在（ln（1），+）上单调递增（2）由（1）可得：a2时，不满足f（x），a2，且f（ln（1）+a（1）+（a2）（1）化为：1+a+a21，解得aa2实数a的取值范围是【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题