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2018-2019学年广东省东莞市高二(下)期末数学试卷(文科)含详细解答

1、2018-2019学年广东省东莞市高二(下)期末数学试卷(文科)一、选择题(共12小题,每小题5分,共计60分)1(5分)已知实数集R,集合Ax|0x1,Bx|2x1,则下列结论错误的是()A(RB)ARBBB(RA)BCB(RA)RDBA2(5分)已知集合A1,2,Bx|ax1,若BA,则由实数a的所有可能的取值组成的集合为()ABCD3(5分)已知命题p:xR,2x+2,命题q:x0(0,+),2,则下列判断正确的是()Apq是真命题B(p)(q)是真命题C(p)(q)是真命题D(p)(q)是真命题4(5分)已知函数,若实数m(0,1),则函数g(x)f(x)m的零点个数为()A0B1C2

2、D35(5分)科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年,某企业连续12年累计研发投入达4100亿元,我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比,这12年间的研发投入(单位:十亿元)用图中的条形图表示,研发投入占营收比用图中的折线图表示根据折线图和条形图,下列结论错误的是()A2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大B2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小C该企业连续12年来研发投入逐年增加D该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加6(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)f(x),当0x1时,f(

3、x)x2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2019)()A2019B0C1D17(5分)函数的部分图象大致为()ABCD8(5分)设函数f(x)(x+1)ex+1,则()Ax2为f(x)的极大值点Bx2为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点9(5分)若直线y2x+b是曲线ylnx+ln2的一条切线,则实数b等于()A1B0C1D210(5分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x),且函数f(x)在(,0)上是减函数,若af(1),bf(log2),cf(20.3),则a,b,c的大小关系为()AcbaBacbCbcaDabc11(5分)设定义在R

4、上的函数f(x)的导函数为f(x),若f(x)+f(x)2,f(0)2020,则不等式exf(x)2ex+2018(其中e为自然对数的底数)的解集为()A(0,+)B(2018,+)C(2020,+)D(,0)(2018,+)12(5分)函数f(x)的定义域为D,若f(x)满足在D内是单调函数且存在m,nD使f(x)在m,n上的值域为,那么就称yf(x)为“半保值函数”,若函数f(x)loga(ax+t)(a0且a1)是“半保值函数”,则正实数t的取值范围是()A(0,B(0,)C(0,+)D(,+)二.填空题(共4小题,每小题5分,共计20分)13(5分)设函数f(x),则 14(5分)函数

5、f(x)(4x)0+lg的定义域是 15(5分)(文)若函数f(x)3x+ax(a0且a1)是偶函数,则函数f(x)的值域为 16(5分)如果函数f(x)x2(a1)x+5在区间上是减函数,那么实数a的取值范围是 三.解答题(共6小题,第17题10分,其余每题12分,共计60分)17计算(1)2()+lg+()lg1(2)lg52+lg8+lg5lg20+(lg2)218已知Ax|0,Bx|x24x+4m20,m0(1)若m3,求AB;(2)若ABB,求实数m取值范围19设命题p:ycx为R上的减函数,命题q:函数f(x)x22x+34c在上恒成立若pq为真命题,pq为假命题,求c的取值范围2

6、0已知函数()若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值;()若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围;()若函数f(x)在区间0,1上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围21某文化创意公司开发出一种玩具(单位:套)进行生产和销售根据以往经验,每月生产x套玩具的成本p由两部分费用(单位:元)构成:a固定成本(与生产玩具套数x无关),总计一百万元;b生产所需的直接总成本(1)问:该公司每月生产玩具多少套时,可使得平均每套所需成本费用最少?此时每套玩具的成本费用是多少?(2)假设每月生产出的玩具能全部售出,但随着x的增大,生产所需的直接总成本在急剧增加,因此售价也需随着x的增大而适

7、当增加设每套玩具的售价为q元,(a,bR)若当产量为15000套时利润最大,此时每套售价为300元,试求a、b的值(利润销售收入成本费用)22设函数f(x)ax2+bx+c(a0),且f(1)(1)求证:函数f(x)有两个零点;(2)设x1,x2是函数f(x)的两个零点,求以|x1x2|的取值范围;(3)求证:函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点2018-2019学年广东省东莞市高二(下)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,共计60分)1(5分)已知实数集R,集合Ax|0x1,Bx|2x1,则下列结论错误的是()A(RB)ARBBB(RA)BCB(

8、RA)RDBA【分析】推导出集合Ax|0x1,从而RAx|x0或x1,再则Bx|2x1x|x0,得到B(RA),B(RA)RA,BA,由此能求出结果【解答】解:实数集R,集合Ax|0x1,RAx|x0或x1,Bx|2x1x|x0,B(RA),B(RA)RA,BA,故选项C错误故选:C【点评】本题考查集合的表示、集合运算,考查理解能力、运算求解能力,是基础题2(5分)已知集合A1,2,Bx|ax1,若BA,则由实数a的所有可能的取值组成的集合为()ABCD【分析】由BA,求出集合A的子集,这样就可以求出实数a值集合【解答】解:BA,A1,2的子集有,1,2,1,2,当B时,显然有a0;当B1时,

9、a1a1;当B2时,2a1a;当B2,1,不存在a,符合题意,实数a值集合为1,0,故选:D【点评】本题考查了通过集合的运算结果,得出集合之间的关系,求参数问题重点考查了一个集合的子集,本题容易忽略空集是任何集合的子集这一结论,属基础题3(5分)已知命题p:xR,2x+2,命题q:x0(0,+),2,则下列判断正确的是()Apq是真命题B(p)(q)是真命题C(p)(q)是真命题D(p)(q)是真命题【分析】根据不等式的性质分别判定命题p,q的真假,再确定命题q,p的真假,然后逐项判断即可【解答】解:命题p:xR,2x+2,则:2x0,2x+22,p为真,命题q:x0(0,+)时,2x1恒成立

10、,2,故q为假,则(p)(q)是真命题故选:C【点评】本题主要考查复合命题之间的关系,根据不等式的性质分别判定命题p,q的真假是解决本题的关键,比较基础4(5分)已知函数,若实数m(0,1),则函数g(x)f(x)m的零点个数为()A0B1C2D3【分析】画出函数f(x)的图象,结合图象令g(x)f(x)m0,得mf(x);看m(0,1)时,函数ym与yf(x)交点个数即可【解答】解:画出函数f(x)的图象,如图所示;由函数g(x)f(x)m0,得出mf(x);又m(0,1),则ym与yf(x)由3个交点,所以函数g(x)有3个零点故选:D【点评】本题主要考查了函数零点的判断问题,也考查了分段

11、函数图象的画法与应用问题,是基础题5(5分)科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年,某企业连续12年累计研发投入达4100亿元,我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比,这12年间的研发投入(单位:十亿元)用图中的条形图表示,研发投入占营收比用图中的折线图表示根据折线图和条形图,下列结论错误的是()A2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大B2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小C该企业连续12年来研发投入逐年增加D该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加【分析】由折线图和条形图可得答案【解答】解:由折线图

12、和条形图可得2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大,2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小,该企业连续12年来研发投入逐年增加,该企业连续12年来研发投入占营收比,有增有减故选:D【点评】本题考查命题真假的判断,考查折线图等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题6(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)f(x),当0x1时,f(x)x2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2019)()A2019B0C1D1【分析】根据f(x+2)f(x)即可得出f(x+4)f(x),即得出f(x)的周期为4,再根据

13、f(x)是R上的奇函数即可得出f(0)0,并得出f(2)0,f(3)f(1),从而得出f(1)+f(2)+f(3)0,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)0,从而得出f(1)+f(2)+f(3)+f(2019)0【解答】解:f(x+2)f(x);f(x+4)f(x);f(x)的周期为4;f(x)是R上的奇函数,则f(0)0;f(2)f(0)0,f(3)f(1),f(4)f(2)0;f(1)+f(2)+f(3)0,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)0;f(1)+f(2)+f(3)+f(2019)504f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(1)+f(2)+f(3)0故选:B【点评】考查

14、奇函数、周期函数的定义,奇函数在原点有定义时,原点处的函数值为0,已知函数求值的方法7(5分)函数的部分图象大致为()ABCD【分析】根据题意,分析函数f(x)的奇偶性以及在(0,)上f(x)的符号,据此分析选项即可得答案【解答】解:根据题意,对于f(x)sinx,有f(x)sin(x)sinxf(x),即函数f(x)为偶函数,据此可以排除A、C,又由在(0,)上,sinx0,0,有f(x)0,则函数f(x)0,据此排除D;故选:B【点评】本题考查函数图象的判断以及分析,一般用排除法分析,属于基础题8(5分)设函数f(x)(x+1)ex+1,则()Ax2为f(x)的极大值点Bx2为f(x)的极

15、小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点【分析】求出函数的导数,求出极值点,判断求解即可【解答】解:函数f(x)(x+1)ex+1,所以f(x)(x+2)ex,令(x+2)ex0,可得x2,此时x2,f(x)0,函数是减函数;x2,f(x)0,函数是增函数;所以x2是函数的极小值点故选:D【点评】本题考查函数的极值的求法与函数的单调性的判断,是基本知识的考查9(5分)若直线y2x+b是曲线ylnx+ln2的一条切线,则实数b等于()A1B0C1D2【分析】求出曲线的导数,利用导数为2,求出切点坐标,然后求出b的值【解答】解:曲线ylnx+ln2(x0)的导数为:y,由题意直线

16、y2x+b是曲线ylnx+ln2(x0)的一条切线,可知2,所以x,所以切点坐标为(,0),切点在直线上,所以by2x011故选:A【点评】本题是基础题,考查曲线的导数与切线方程的关系,考查计算能力10(5分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x),且函数f(x)在(,0)上是减函数,若af(1),bf(log2),cf(20.3),则a,b,c的大小关系为()AcbaBacbCbcaDabc【分析】由已知可得函数f(x)为偶函数,根据偶函数的对称性可知,函数f(x)在(0,+)上是增函数,即可比大小【解答】解:f(x)f(x),即函数f(x)为偶函数,函数f(x)在(,0)上是减函

17、数,根据偶函数的对称性可知,函数f(x)在(0,+)上是增函数,af(1)f(1),bf(2),cf(20.3),而120.32,则acb,故选:B【点评】本题主要考查了利用偶函数的对称性及单调比较大小,属于基础试题11(5分)设定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),若f(x)+f(x)2,f(0)2020,则不等式exf(x)2ex+2018(其中e为自然对数的底数)的解集为()A(0,+)B(2018,+)C(2020,+)D(,0)(2018,+)【分析】构造函数,利用函数的导数,判断函数的单调性,然后推出结果即可【解答】解:设g(x)exf(x)2ex,则g(x)exf(x)+e

18、xf(x)2exexf(x)+f(x)2,f(x)+f(x)2,ex0,g(x)exf(x)+f(x)20,g(x)是R上的增函数,又g(0)f(0)22018,g(x)2018的解集为(0,+),即不等式exf(x)2ex+2018的解集为(0,+)故选:A【点评】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系,构造法的应用,考查转化思想以及计算能力12(5分)函数f(x)的定义域为D,若f(x)满足在D内是单调函数且存在m,nD使f(x)在m,n上的值域为,那么就称yf(x)为“半保值函数”,若函数f(x)loga(ax+t)(a0且a1)是“半保值函数”,则正实数t的取值范围是()A(0,B(0

19、,)C(0,+)D(,+)【分析】由题意可知f(x)在D内是单调函数,才为“半保值函数”,从而可构造函数f(x)x,转化为loga(ax+t)x有两异正根,t的范围可求【解答】解:由题意可知函数f(x)loga(ax+t),(a0,a1)在其定义域内为增函数,若函数yf(x)为“半保值函数”,则f(x)在m,n上的值域为,即,方程f(x)x必有两个不同实数根,loga(ax+t)x,ax+t,axa+t0令b,则b0方程b2b+t0有两个不同的正数根,0t故选:B【点评】本题以新定义为载体,主要考查复合函数单调性的简单应用,属于中档试题二.填空题(共4小题,每小题5分,共计20分)13(5分)

20、设函数f(x),则【分析】推导出,从而【解答】解:因为f(x),所以,则故答案为:【点评】本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题14(5分)函数f(x)(4x)0+lg的定义域是(2,3)(3,4)(4,+)【分析】可看出,要使得f(x)有意义,则需满足,解出x的范围即可【解答】解:要使f(x)有意义,则:;解得2x3,或x3,且x4;f(x)的定义域是(2,3)(3,4)(4,+)故答案为:(2,3)(3,4)(4,+)【点评】考查函数定义域的定义及求法,对数函数的定义域,以及区间表示集合的方法15(5分)(文)若函数f(x)3x+ax(a0且a1)是偶函数

21、,则函数f(x)的值域为2,+)【分析】根据偶函数的定义建立方程求出a的值,结合基本不等式进行求解即可【解答】解:函数f(x)是偶函数,f(x)f(x),当x1时,f(1)f(1),即31+a13+a,即+3+a,得+a,即3a2+8a30,得(a+3)(3a1)0,得a3(舍)或a,则f(x)3x+3x,则f(x)3x+3x22,当且仅当3x3x,即xx,x0时取等号,即函数f(x)的值域为2,+),故答案为:2,+)【点评】本题主要考查函数值域的求解,结合偶函数的定义建立方程求出a的值,结合基本不等式是解决本题的关键16(5分)如果函数f(x)x2(a1)x+5在区间上是减函数,那么实数a

22、的取值范围是a3【分析】二次函数在区间上的单调性,二次函数的对称轴在区间上x1成立即可【解答】解:函数f(x)x2(a1)x+5的对称轴为:x,函数f(x)在区间上是减函数,则函数对称轴满足x1即可,解得:a3;故答案为:实数a的取值范围是:a3;【点评】本题主要考查求二次函数在区间上的单调性,二次函数的性质的应用,考查函数的对称轴,体现了分类讨论的数学思想,属基础题三.解答题(共6小题,第17题10分,其余每题12分,共计60分)17计算(1)2()+lg+()lg1(2)lg52+lg8+lg5lg20+(lg2)2【分析】(1)进行分数指数幂和对数的运算即可;(2)进行对数的运算即可【解

23、答】解:(1)原式;(2)原式2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)22+(lg2+lg5)23【点评】考查分数指数幂和对数的运算,完全平方公式的运用18已知Ax|0,Bx|x24x+4m20,m0(1)若m3,求AB;(2)若ABB,求实数m取值范围【分析】(1)根据集合的基本运算即可求AB;(2)根据ABB,建立条件关系即可求实数m的取值范围【解答】解:已知(1)若m3,解得:A(2,7),B1,5;所以:AB(2,5;(2)由题意得:B2m,2+m又因为:AUBB,有AB;则有:2m2;2+m7;m0;同时成立m5【点评】本题考查了数形结合的应用,集合的交集并集运算,

24、属于基础题19设命题p:ycx为R上的减函数,命题q:函数f(x)x22x+34c在上恒成立若pq为真命题,pq为假命题,求c的取值范围【分析】根据题意分别求出p、q为真命题时c的范围;再由pq为真命题,pq为假命题,得p、q一真一假,可推出c的取值范围【解答】解:pq为真命题,pq为假命题,知p与q为一真一假,对p、q进行分类讨论即可若p命题真,由ycx为减函数,得:0c1;命题q:当时,由不等式x22x+3(x1)2+22,当x1时取等号;所以函数f(x)x22x+3在上的最小值为:2; 若q真,则:4c2,即c; 若p真q假,则:c1;若p假q真,则:c0综上可得:c(,0,1);故答案

25、为:c(,0,1);【点评】本题主要考查复合命题之间的关系,根据函数的性质分别判定命题p,q的真假是解决本题的关键,属于中档题20已知函数()若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值;()若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围;()若函数f(x)在区间0,1上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围【分析】()函数f(x)是R上的奇函数,则f(0)0,解得a的值;()若函数f(x)的定义域是一切实数,恒成立即恒成立,进而可得答案;()若函数f(x)在区间0,1上的最大值与最小值的差不小于2,则,解得答案【解答】解:()函数f(x)是R上的奇函数,则f(0)0,求得a0(2分)又

26、此时f(x)x是R上的奇函数所以a0为所求(4分)()函数f(x)的定义域是一切实数,则恒成立即恒成立,由于(6分)故只要a0即可 (7分)()由已知函数f(x)是减函数,故f(x)在区间0,1上的最大值是f(0)log2(1+a),最小值是(8分)由题设(11分)故 为所求(12分)【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,难度中档21某文化创意公司开发出一种玩具(单位:套)进行生产和销售根据以往经验,每月生产x套玩具的成本p由两部分费用(单位:元)构成:a固定成本(与生产玩具套数x无关),总计一百万元;b生产所需的直接总成本(1)问:该公司每月生产玩具多少套时,可使得平均每套所需成本

27、费用最少?此时每套玩具的成本费用是多少?(2)假设每月生产出的玩具能全部售出,但随着x的增大,生产所需的直接总成本在急剧增加,因此售价也需随着x的增大而适当增加设每套玩具的售价为q元,(a,bR)若当产量为15000套时利润最大,此时每套售价为300元,试求a、b的值(利润销售收入成本费用)【分析】(1)由题意写出生产成本p,利用基本不等式计算的最小值,并且求出对应的x值;(2)利用利润函数qxp,结合题意列方程求得a、b的值【解答】解:(1)由题意知,生产成本为p1000000+50x+x2,(3分)+502+50250,(5分)当且仅当时,即x2100000000,解得x10000;(6分

28、)答:该公司生产1万套玩具时,使得每套平均所需成本费用最少,且每套的成本费用为250元;(7分)(2)利润qxpx(a+)(1000000+50x+x2)()x2+(a50)x1000000;(10分)根据题意,有0,a+300,且15000,解得a250,b300(14分)【点评】本题考查了根据实际函数模型求成本与利润的应用问题,是中档题22设函数f(x)ax2+bx+c(a0),且f(1)(1)求证:函数f(x)有两个零点;(2)设x1,x2是函数f(x)的两个零点,求以|x1x2|的取值范围;(3)求证:函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点【分析】(1)通过化简函数的解析式,利用

29、a0,0恒成立,即可证明函数f(x)有两个零点(2)利用韦达定理化简|x1x2|,然后求解它的取值范围(3)根据f(0)c,f(2)4a+2b+c,由()可知f(2)ac,通过当c0时,推出f(0)f(1)0,当c0时,推出f(1)f(2)0,即可证明函数f(x)在区间0,2内至少有一个零点【解答】(1)证明:,3a+2b+2c0,a0,0恒成立,故函数f(x)有两个零点(2)解:(3)证明:根据f(0)c,f(2)4a+2b+c,由()可知f(2)ac,当c0时,有f(0)c,又a0,f(1)0,f(0)f(1)0,函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点当c0时,f(1)0,f(0)c0,f(2)ac0,f(1)f(2)0,函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点综上所述,函数f(x)在区间0,2内至少有一个零点【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用,函数与方程的应用,考查分类讨论思想的应用,考查计算能力