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2018-2019学年广东省肇庆联盟校高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

1、2018-2019学年广东省肇庆联盟校高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)下列关于圆锥的说法中,错误的是()A圆锥的轴截面是等腰三角形B圆锥的侧面展开图是扇形C以直角三角形一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥D用平行于圆锥底面的平面截圆锥可以得到圆台2(5分)已知命题p:nN*,n2n1,则命题p的否定p为()AnN*,n2n1BnN*,n2nlCnN*,n2n1DnN*,n2n13(5分)若直线2x+y+10与直线ax+2y30平行,则实数a的值为()A2B4C2D44(5分)已知空间向量(1,3

2、,x),(x2,1,2),则“x1”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5(5分)若方程+1表示的曲线为双曲线,则实数k的取值范围是()A(,5)(7,+)B(6,7)C(5,7)D(5,6)(6,7)6(5分)设m,n是两条直线,是两个不同的平面,给出下列条件,其中不能得到的是()Am,mn,nBm,mn,nCmn,m,nDm,m,n7(5分)一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形,如图所示,则该多面体的体积为()A24cm3B48cm3C32cm3D96cm38(5分)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC2,AA11,则AC1

3、与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为()ABCD9(5分)从抛物线y28x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,抛物线的焦点为F,若|MF|5,则直线PF的斜率为()AB3CD410(5分)设P为双曲线y21(a0)的上一点,F1PF2,(F1、F2为左、右焦点),则F1PF2的面积等于()ABCD11(5分)已知半径为2的圆M与圆x2+y25外切于点P(1,2),则圆心M的坐标为()A(3,6)B(6,3)C(3,6)D(2,5)12(5分)已知椭圆+1(ab0)上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点,若AFBF,ABF,则该椭圆的离心率为()AB1CD二、填空题:本题共

4、4小题,每小题5分,共20分13(5分)直线被圆x2+y24y0所截得的弦长为 14(5分)已知平面的一个法向量为(2,1,3),M(3,2,1),N(4,4,1),其中M,N,则点N到平面的距离为 15(5分)若双曲线1(a0,b0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a,则该双曲线的离心率为 16(5分)已知直线l:yx3与抛物线y22px(p0)交于A,B两点,若以AB为直径的圆经过抛物线的焦点F,则该抛物线的方程为 三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)如图,在四棱锥PABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC(1)求证:DC平面PAC;(2)求证:

5、平面PAB平面PAC18(12分)已知命题p:“椭圆+1的焦点在x轴上”;命题q:“函数ylog2(x2+2x+a)的定义域为R”(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;(2)若“pq”为真命题,“pq”为假命题,求实数a的取值范围19(12分)(1)若准线垂直于x轴的抛物线的焦点是双曲线1的左焦点,且此抛物线的顶点为坐标原点,求此抛物线的标准方程;(2)若某双曲线与椭圆+1有共同的焦点,且以yx为渐近线,求此双曲线的标准方程20(12分)在多面体ABCA1B1C1中,四边形AA1B1B是正方形,四边形A1ACC1是直角梯形,AA1AC,AA1CC1,AA1AC2CC1,BAAC,D,F分

6、别为A1B1,BC的中点(1)求证:BADF;(2)求DF与平面A1BC1所成角的正弦值21(12分)已知圆心在直线y2x上的圆C与直线l:4x+3y+50相切于点(x0,)(1)求x0的值和圆C的标准方程;(2)若经过点(8,2)的直线m与圆C交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,且x1x20,求证:+为定值22(12分)已知椭圆E:+1(ab0)的离心率为,右焦点F2与抛物线y24x的焦点重合,过F2的直线l交椭圆于A,B两点,交抛物线于M,N两点(1)求椭圆E的方程;(2)若|AB|MN|,求直线l的方程2018-2019学年广东省肇庆联盟校高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与

7、试题解析一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)下列关于圆锥的说法中,错误的是()A圆锥的轴截面是等腰三角形B圆锥的侧面展开图是扇形C以直角三角形一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥D用平行于圆锥底面的平面截圆锥可以得到圆台【分析】以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥,以斜边为轴旋转所得的旋转体是两个圆锥的组合体【解答】解:在A中,由圆锥的性质得圆锥的轴截面是等腰三角形,故A正确;在B中,由圆锥的性质得圆锥的侧面展开图是扇形,故B正确;在C中,以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥,以斜边为轴旋转所得的旋转体是

8、两个圆锥的组合体,故C错误;在D中,由圆锥的性质得用平行于圆锥底面的平面截圆锥可以得到圆台,故D正确故选:C【点评】本题考查命题真假的判断,考查圆锥的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题2(5分)已知命题p:nN*,n2n1,则命题p的否定p为()AnN*,n2n1BnN*,n2nlCnN*,n2n1DnN*,n2n1【分析】由全称命题的否定为特称命题,注意不等号的改变【解答】解:由全称命题的否定为特称命题可得命题p:nN*,n2n1,则命题p的否定p为nN*,n2n1,故选:C【点评】本题考查命题的否定,考查转化思想,属于基础题3(5分)若直线2x+y+10与直线ax+2y30平行,则

9、实数a的值为()A2B4C2D4【分析】根据两直线平行,对应系数成比例,列出方程求得a的值【解答】解:直线2x+y+10与直线ax+2y30平行,解得a4;实数a的值为4故选:D【点评】本题考查了两直线平行的应用问题,是基础题4(5分)已知空间向量(1,3,x),(x2,1,2),则“x1”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】若,为空间向量,且(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),若,则0,即x1x2+y1y2+z1z20本题中当时,由向量垂直的充要条件求得1x2+3(1)+2x0,解得x3或x1,即“”的充要条件为:“x3或x1”,又“x

10、1”是“x3或x1”的充分不必要条件,所以“x1”是“”的充分不必要条件,【解答】解:空间向量(1,3,x),(x2,1,2),当时,有1x2+3(1)+2x0,解得x3或x1,又“x1”是“x3或x1”的充分不必要条件,所以“x1”是“”的充分不必要条件,故选:A【点评】本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及向量垂直的充要条件,属简单题5(5分)若方程+1表示的曲线为双曲线,则实数k的取值范围是()A(,5)(7,+)B(6,7)C(5,7)D(5,6)(6,7)【分析】由双曲线方程的特点可得(k5)(k7)0,解之可得【解答】解:若方程+1表示的曲线为双曲线,则(k5)(k7)0,解得5

11、k7,故选:C【点评】本题考查双曲线的标准方程的特征,属基础题6(5分)设m,n是两条直线,是两个不同的平面,给出下列条件,其中不能得到的是()Am,mn,nBm,mn,nCmn,m,nDm,m,n【分析】在A中,由面面垂直的判定定理得;在B中,由面面垂直的判定定理得;在C中,与相交或平行;在D中,由面面垂直的判定定理得【解答】解:由m,n是两条直线,是两个不同的平面,知:在A中,m,mn,n,则由面面垂直的判定定理得,故A错误;在B中,m,mn,n,则由面面垂直的判定定理得,故B错误;在C中,mn,m,n,则与相交或平行,故C正确;在D中,m,m,n,则由面面垂直的判定定理得,故D错误故选:

12、C【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题7(5分)一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形,如图所示,则该多面体的体积为()A24cm3B48cm3C32cm3D96cm3【分析】由三视图我们易判断出该几何体是一个三棱柱,其底面底边长为6,高为4,棱柱高也为4,代入棱柱体积公式,即可得到答案【解答】解:由三视图可判断该几何体是一个直三棱柱其底面边长为6,高为4棱柱高也为4故V48故选:B【点评】本题考查的知识点是由三视图答案求体积,其中根据三视图判断几何体的形状,底面边长、高等几何量,是解答的关键8(5分)如图,在长

13、方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC2,AA11,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为()ABCD【分析】由题意连接A1C1,则AC1A1为所求的角,在AC1A1计算【解答】解:连接A1C1,在长方体ABCDA1B1C1D1中,A1A平面A1B1C1D1,则AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角在AC1A1中,sinAC1A1故选:D【点评】本题主要考查了求线面角的过程:作、证、求,用一个线面垂直关系9(5分)从抛物线y28x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,抛物线的焦点为F,若|MF|5,则直线PF的斜率为()AB3CD4【分析】根据题意画出图形,结合图

14、形求出点P的坐标,再计算直线PF的斜率【解答】解:抛物线y28x中,2p8,p4,抛物线的焦点F(2,0)到准线x2的距离为4;设点P(xP,yP),则yP3,代入抛物线方程,求得xp,直线PF的斜率为kPF故选:C【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题,是基础题10(5分)设P为双曲线y21(a0)的上一点,F1PF2,(F1、F2为左、右焦点),则F1PF2的面积等于()ABCD【分析】先利用双曲线的定义,得|PF1|PF2|2a,利用余弦定理求出|PF1|PF2|的值,结合三角形的面积公式即可求出F1PF2的面积【解答】解:双曲线方程y21(a0),b1,不妨设P是双曲线的右支上

15、的一个点,则由双曲线的定义,得|PF1|PF2|2a,F1PF2,4c2|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos|PF1|2+|PF2|2+|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2+3|PF1|PF2|,即4c24a2+3|PF1|PF2|,即3|PF1|PF2|4c24a24b24,则|PF1|PF2|,|PF1|PF2|sin,故选:C【点评】本题考查三角形面积的求法,根据双曲线的定义结合余弦定理将条件进行转化是解决本题的关键,解题时要认真审题,注意双曲线定义、余弦定理的灵活运用,是中档题11(5分)已知半径为2的圆M与圆x2+y25外切于点P(1,2),则圆心M的坐标为()

16、A(3,6)B(6,3)C(3,6)D(2,5)【分析】根据题意,设M的坐标为(a,b),由圆与圆的位置关系可得,解可得a、b的值,即可得答案【解答】解:根据题意,设要求圆M的圆心M的坐标坐标为(a,b),圆x2+y25圆心为O(0,0),半径r若圆M与圆x2+y25外切于点P(1,2),则必有M、P、O三点共线且|OM|3,即,解可得或(舍);即M的坐标为(3,6);故选:C【点评】本题考查圆与圆的位置关系,涉及圆的方程的应用,属于基础题12(5分)已知椭圆+1(ab0)上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点,若AFBF,ABF,则该椭圆的离心率为()AB1CD【分析】根据对称性得出四

17、边形AF2BF1为矩形,设AF1x,则BF1,运用矩形的几何性质,得出边长,再运用定义判断得出()c2a,即可求解离心率【解答】解:椭圆+1(ab0)上一点A关于原点的对称点为B,F1(c,0),F2(c,0)A(x0,y0),B(x0,y0),AFBF,设ABF,根据椭圆的对称性可知:四边形AF2BF1为矩形,AF2BF1,F1F22xx2aF1F22c2x,()c2a,故选:B【点评】本题考察了椭圆的几何性质,定义,解直角三角形,矩形的几何性质,运用数形结合数学解决代数问题,属于中档题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13(5分)直线被圆x2+y24y0所截得的弦长为【分析】由

18、已知中直线与圆的方程,我们可以求出直线的一般方程,圆的圆心坐标及半径,根据半弦长,弦心距,半径构成直角三角形,满足勾股定理,我们即可求出答案【解答】解:由圆的方程x2+y24y0可得,圆心坐标为(0,2),半径R2圆心到直线的距离d1由半弦长,弦心距,半径构成直角三角形,满足勾股定理可得:l22故答案为:2【点评】本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用,其中直线与圆相交的弦长问题常根据半弦长,弦心距,半径构成直角三角形,满足勾股定理,即l2进行解答14(5分)已知平面的一个法向量为(2,1,3),M(3,2,1),N(4,4,1),其中M,N,则点N到平面的距离为【分析】平面的一个法向量为(2

19、,1,3),(1,2,2),点N到平面的距离为d,由此能求出结果【解答】解:平面的一个法向量为(2,1,3),M(3,2,1),N(4,4,1),其中M,N,(1,2,2),点N到平面的距离为d故答案为:【点评】本题考查点到平面的距离的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题15(5分)若双曲线1(a0,b0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a,则该双曲线的离心率为【分析】求得双曲线的焦点和渐近线方程,运用点到直线的距离公式可得b2a,再由离心率公式,计算可得所求值【解答】解:双曲线1(a0,b0)的焦点为(c,0),渐近线方程为bxay0,焦点到渐近

20、线的距离为db2a,则e故答案为:【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用点到直线的距离公式,考查运算能力,属于基础题16(5分)已知直线l:yx3与抛物线y22px(p0)交于A,B两点,若以AB为直径的圆经过抛物线的焦点F,则该抛物线的方程为y2(812)x【分析】先联立方程组,根据韦达定理,结合以AB为直径的圆经过抛物线的焦点F,可得x1x2(x1+x2)+y1y20,即可求出p的值【解答】解:抛物线y22px的焦点F(,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),由,消x可得y22py6p0,y1+y22p,y1y26p,x1x2(y1+3)(y2+3)y1y2+3(y1+y2)

21、+99,x1+x2y1+y2+62p+6以AB为直径的圆经过抛物线的焦点F,即(x1)(x2)+y1y20,化简的x1x2(x1+x2)+y1y20,即9p(p+3)+6p0,即p2+12p120解得p46或46(舍去)抛物线的方程为y2(812)x,故答案为:y2(812)x,【点评】本题考查了抛物线方程的求法,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用,属于中档题三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)如图,在四棱锥PABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC(1)求证:DC平面PAC;(2)求证:平面PAB平面PAC【分析】(1)推导出PCDC,

22、DCAC,由此能证明DC平面PAC(2)由ABDC,DC平面PAC,得AB平面PAC,由此能证明平面PAB平面PAC【解答】证明:(1)PC平面ABCD,DC平面ABCD,PCDC,DCAC,PCACC,DC平面PAC(2)ABDC,DC平面PAC,AB平面PAC,AB平面PAB,平面PAB平面PAC【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、空间想象能力,考查函数与方程思想、数形结合思想,是中档题18(12分)已知命题p:“椭圆+1的焦点在x轴上”;命题q:“函数ylog2(x2+2x+a)的定义域为R”(1)若命题p为真命题

23、,求实数a的取值范围;(2)若“pq”为真命题,“pq”为假命题,求实数a的取值范围【分析】(1)根据椭圆焦点在x轴上的等价条件进行求解即可(2)结合复合命题真假关系求出p,q一个为真命题一个为假命题,进行求解即可【解答】解:(1)椭圆+1的焦点在x轴上”则a5,即实数a的取值范围是(5,+)(2)若函数ylog2(x2+2x+a)的定义域为R,则x2+2x+a0恒成立,即判别式44a0,得a1,即q:a1,若“pq”为真命题,“pq”为假命题,则p,q一个为真命题一个为假命题,若p真q假,则,此时a无解,若p假q真,则,得1a5,实数a的取值范围是(1,5【点评】本题主要考查复合命题真假关系

24、的应用,求出p,q为真命题的等价条件是解决本题的关键19(12分)(1)若准线垂直于x轴的抛物线的焦点是双曲线1的左焦点,且此抛物线的顶点为坐标原点,求此抛物线的标准方程;(2)若某双曲线与椭圆+1有共同的焦点,且以yx为渐近线,求此双曲线的标准方程【分析】(1)求得双曲线的焦点,设抛物线的方程为y22px(p0),由题意可得p10,即可得到所求抛物线方程;(2)求得椭圆的焦点,设双曲线的方程为1(a,b0),结合积极性方程,可得a,b的方程组,即可得到所求双曲线方程【解答】解:(1)双曲线1的左焦点为(5,0),设抛物线的方程为y22px(p0),可得5,即p10,可得抛物线的方程为y220

25、x;(2)椭圆+1的焦点为(0,4),设双曲线的方程为1(a,b0),可得a2+b216,yx为渐近线,可得,解得a2,b2,即有双曲线的方程为1【点评】本题考查圆锥曲线方程的求法,注意运用待定系数法,考查方程思想和运算能力,属于基础题20(12分)在多面体ABCA1B1C1中,四边形AA1B1B是正方形,四边形A1ACC1是直角梯形,AA1AC,AA1CC1,AA1AC2CC1,BAAC,D,F分别为A1B1,BC的中点(1)求证:BADF;(2)求DF与平面A1BC1所成角的正弦值【分析】(1)取E为AC的中点,推导出四边形DA1EF是平行四边形,从而DFA1E,再由BAAC,得BA平面A

26、1ACC1,从而BAA1E,由此能证明BADF(2)以A为原点,AB,AC,AA1分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出DF与平面A1BC1所成角的正弦值【解答】证明:(1)取E为AC的中点,F为BC的中点,EF,四边形AA1B1B是正方形,AA1BA,A1B1AB,D是A1B1的中点,DA1,EFDA,四边形DA1EF是平行四边形,DFA1E,BAAC,AA1ACA,BA平面A1ACC1,BAA1E,BADF解:(2)以A为原点,AB,AC,AA1分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,设AC2,则B(2,0,0),B1(2,0,2),C(0,2,0),1(0,2,

27、1),A1(0,0,2),D(1,0,2),F(1,1,0),(0,1,2),(2,0,2),(0,2,1),设平面A1BC1的法向量(x,y,z),则,取y1,得(2,1,2),设DF与平面A1BC1所成角为,则sinDF与平面A1BC1所成角的正弦值为【点评】本题考查线线垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题21(12分)已知圆心在直线y2x上的圆C与直线l:4x+3y+50相切于点(x0,)(1)求x0的值和圆C的标准方程;(2)若经过点(8,2)的直线m与圆C交于P(x1,y1),Q(x2,

28、y2)两点,且x1x20,求证:+为定值【分析】(1)将切点坐标代入到直线l可得x0,然后联立直线y2x与过切点且与切线垂直的直线可解得圆心C的坐标,从而可得半径r和圆C的方程;(2)设出直线m并代入圆C,再利用韦达定理可得定值为【解答】解:(1)由4x0+50,得x0,过点(x0,)且与l垂直的直线方程为:y(x+)此直线与直线y2x的交点为C(1,2),设圆C的半径为r,则r2(1)2+(2)29,圆C的标准方程为(x1)2+(y2)29(2)当直线m的斜率不存在时,显然直线x8与圆C没有公共点,不合题意;当直线m的斜率存在时,设直线m的方程为y2k(x+8)并代入圆C的方程整理得:(1+

29、k2)x2+(16k22)x+64k280,则x1+x2,x1x2,【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,属中档题22(12分)已知椭圆E:+1(ab0)的离心率为,右焦点F2与抛物线y24x的焦点重合,过F2的直线l交椭圆于A,B两点,交抛物线于M,N两点(1)求椭圆E的方程;(2)若|AB|MN|,求直线l的方程【分析】(1)根据题意得F(1,0),即c1,再通过e及c2a2b2计算可得椭圆的方程;(2)利用弦长公式,求得AB,MN,由|AB|MN|,可得,解得m即可【解答】解:(1)根据题意,得F(1,0),c1,又e,a2,b2a2c23,椭圆的方程为:;(2)显然l的斜率不为0,设l:xmy+1,联立直线l与椭圆方程,化简得(3m2+4)y2+6my90,设A(x1,y1),B(x2,y2),则0恒成立,由韦达定理,得y1+y2,y1y2,|AB|y1y2|,设M(x3,y3),N(x4,y4),由y24my40,y3+y44m,y3y44|MN|y3y4|,|AB|MN|,解得m直线l的方程为:x【点评】考查抛物线、椭圆的几何性质,以及直线和椭圆、抛物线弦长的问题,属于中档题