1、阶段训练三(范围:13)一、选择题1.一袋中装有大小相同,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号和不小于15的概率为()A. B. C. D.答案D解析从中有放回地取2次,所取号码共有8864(种),其中编号和不小于15的有3种,分别是(7,8),(8,7),(8,8),故所求概率P.2.将红、黑、蓝、白4张牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张,则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A.对立事件B.不可能事件C.互斥事件,但不是对立事件D.以上答案都不对答案C解析记事件A甲分得红牌,记事件B乙分得红牌,它们不
2、会同时发生,所以是互斥事件,但事件A和事件B也可能都不发生,所以它们不是对立事件.3.当你到一个红绿灯路口时,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为45秒,那么你看到黄灯的概率是()A. B. C. D.答案C解析由题意可知,在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的,可以认为是无限次等可能出现的,符合几何概型的条件.事件“看到黄灯”的时间长度为5秒,而整个灯的变换时间长度为80秒,据几何概型概率计算公式,得看到黄灯的概率P.4.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()A.“至少有1个白球”和“都是红球”B.“至少有1个白球”和“至多有1个红球”C
3、.“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D.“至多有1个白球”和“都是红球”答案C解析该试验有三种结果:“恰有1个白球”、“恰有2个白球”、“没有白球”,故“恰有1个白球”和“恰有2个白球”是互斥事件且不是对立事件.5.两根电线杆相距100 m,若电线遭受雷击,且雷击点在距电线杆10 m之内时,电线杆上的输电设备将受损,则电线遭受雷击时设备受损的概率为()A.0.1 B.0.2C.0.05 D.0.5答案B解析所求概率P0.2.6.在区间(10,20内的所有实数中,随机取一个实数a,则这个实数a小于13的概率是()A. B.C. D.答案C解析这是一个与长度有关的几何概型问题,所求的概率P.7.一
4、个袋子中有5个大小相同的球,其中有3个黑球与2个红球,如果从中任取2个球,则恰好取到2个同色球的概率是()A. B. C. D.答案C解析记3个黑球分别为黑1,黑2,黑3,2个红球分别为红1,红2,从中任取2个球,则基本事件有(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3),(红1,红2),(黑1,红1),(黑1,红2),(黑2,红1),(黑2,红2),(黑3,红1),(黑3,红2),共10个,其中为同色球的有4个,故所求概率为.8.在甲、乙两个盒子中分别装有标号1,2,3,4,5的五个球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,球的标号分别记作a,b,每个球被取出的可能性相等,则|ab|1的概率为(
5、)A. B.C. D.答案B解析所有的数对(a,b)共有5525个,而满足|ab|1的数对(a,b)有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),共13个,故|ab|1的概率为.故选B.9.已知集合A5,3,1,0,2,4,在平面直角坐标系中,点(x,y)的坐标满足xA,yA,且xy,则点(x,y)不在x轴上的概率()A. B. C. D.答案C解析因为xA,yA,且xy,所以x有6种可能,y有5种可能,所以试验的所有结果有6530(种),且每种结果的出现是等可能的.设事件A为“点(
6、x,y)不在x轴上”,那么y0,有5种可能,x有5种可能,事件A包含基本事件个数为5525(种).因此所求事件的概率为P(A).二、填空题10.从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于40的概率为_.答案解析可能构成的两位数有20个,其中大于40的两位数有41,42,43,45,51,52,53,54,共8个,所以所求概率P.11.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品,从这批产品中任意抽5件,记A为“恰有1件次品”,B为“至少有2件次品”,C为“至少有1件次品”,D为“至多有1件次品”.现给出下列结论:ABC;BD是必然事件;ACB;ADC.
7、其中正确的结论为_.(写出序号即可)答案解析由互斥、对立事件的概念得ABC,故错;AD表示“至多有1件次品”,所以错.三、解答题12.现有甲、乙、丙、丁4名学生参加学校社团文学社与街舞社的活动,每人参加且只能参加一个社团的活动,且参加每个社团是等可能的.(1)求文学社和街舞社都至少有1人参加的概率;(2)求甲、乙在同一个社团,且丙、丁不在同一个社团的概率.解甲、乙、丙、丁4名学生参加学校社团文学社与街舞社的情况如下,文学社街舞社1甲乙丙丁2甲乙丙丁3甲乙丁丙4甲丙丁乙5乙丙丁甲6甲乙丙丁7甲丙乙丁8甲丁乙丙9乙丙甲丁10乙丁甲丙11丙丁甲乙12甲乙丙丁13乙甲丙丁14丙甲乙丁15丁甲乙丙16甲
8、乙丙丁共有16种情形,即有16个基本事件.(1)文学社或街舞社没有人参加的基本事件有2个,则都至少有1人参加的基本事件有14个,概率为,即文学社和街舞社都至少有1人参加的概率为.(2)甲、乙同在一个社团,且丙、丁不同在一个社团的基本事件有4个,概率为.13.某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考试级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A饮料,另外2杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对,则评为优秀;若选对2杯,则评为良好;否则评为合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.(1)求此人被评为优秀的概率;(2)求此人被
9、评为良好及以上的概率.解将5杯饮料分别编号为1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A饮料,编号4,5表示B饮料,则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10种.设事件D表示“此人被评为优秀”,事件E表示“此人被评为良好”,事件F表示“此人被评为良好及以上”,则(1)P(D).(2)P(E),P(F)P(D)P(E).14.已知定义在R上的二次函数f(x)ax22bx3.(1)如果a是集合1,2,3,4中的任一元素,b是集合0,2,3中的
10、任一元素,试求函数f(x)在区间1,)上是增函数的概率;(2)如果a是从区间1,4上任取的一个数,b是从区间0,3上任取的一个数,试求函数f(x)在区间1,)上是增函数的概率.解(1)由题意知基本事件(a,b)有(1,0),(1,2),(1,3),(2,0),(2,2),(2,3),(3,0),(3,2),(3,3),(4,0),(4,2),(4,3),共12个.要使函数f(x)在1,)上是增函数,只需对称轴x1即可,满足条件的基本事件有9个,所以所求概率为0.75.(2)这是一个几何概型,易知当(a,b)落在图中阴影部分时,f(x)在1,)上是增函数,故所求概率为.15.交通指数是交通拥堵指
11、数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值,记交通指数为T,其范围为0,10,分别有五个级别:T0,2),畅通;T2,4),基本畅通;T4,6),轻度拥堵;T6,8),中度拥堵;T8,10,严重拥堵.在晚高峰时段(T2),从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数;(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段,求依次抽取的三个级别路段的个数;(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个,求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.解(1)由频率分布直方图得,这20个交通路
12、段中,轻度拥堵的路段有(0.10.2)1206(个),中度拥堵的路段有(0.250.2)1209(个),严重拥堵的路段有(0.10.05)1203(个).(2)由(1)知,拥堵路段共有69318(个),按分层抽样,从18个路段抽取6个,则抽取的三个级别路段的个数分别为62,93,31,即从交通指数在4,6),6,8),8,10的路段中分别抽取的个数为2,3,1.(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为A1,A2,抽取的3个中度拥堵路段为B1,B2,B3,抽取的1个严重拥堵路段为C1,则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B2,B3),(B2,C1),(B3,C1),共15种,其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),共9种.所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为.