1、章末复习学习目标1.梳理本章知识、构建知识网络.2.进一步理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率.3.熟练掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.4.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率.1.频率与概率频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多数次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率.2.事件的分类事件3.概率的性质(1)必然事件的概率为1.(2)不可能事件的概率为0.(3)随机事件A的概率为0P(A)1.4.古典概型的特征及计算公式(1)有限性：试验的所有可能结果只有有限个，每次
2、试验只出现其中的一个结果.(2)等可能性：每一个试验结果出现的可能性相同.(3)古典概型的计算公式P(A).5.(1)互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件.即P(AB)P(A)P(B).(2)对立事件：一般地，在一次试验中，不能同时发生且必有一个发生的两个事件称为对立事件.P(A)1，即P(A)1P().6.几何概型的概率计算公式P(点M落在G1).1.两个事件的和事件是指两个事件都发生的事件.()2.“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”.()3.在古典概型中，如果事件A的基本事件构成集合A，
3、试验的所有的基本事件构成集合I，则事件A的概率为(card(A)表示集合A中的元素个数).()4.相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值一定相等.()题型一频率与概率例1对一批U盘进行抽检，结果如下表：抽出件数a50100200300400500次品件数b345589次品频率(1)计算表中次品的频率；(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进多少个U盘？解(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆
4、动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(10.02)2 000，因为x是正整数，所以x2 041，即至少需进2 041个U盘.反思感悟概率是个常数.但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计.跟踪训练1某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率0.80.950.880.920.890.91(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大
5、约是多少？(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？解(1)由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.(2)击中靶心的次数大约是3000.9270.(3)由概率的意义可知，概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心.题型二互斥事件与对立事件例2甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解把3个选择题记为x1，
6、x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种.因此基本事件的总数为666220.(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断
7、题”的概率为，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1.反思感悟在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解.跟踪训练2(1)中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会女子乒乓球单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为_.答案解析甲夺得冠军与乙夺得冠军不可能同时发生，因此它们是互斥事件，故所求事件的概率为.(2)某射手在一次射击中射中10环
8、，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中：射中10环或9环的概率；至少射中7环的概率；射中环数不足8环的概率.解设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”分别为事件A，B，C，D，E.P(AB)P(A)P(B)0.240.280.52，即射中10环或9环的概率为0.52.方法一P(ABCD)P(A)P(B)P(C)P(D)0.240.280.190.160.87，即至少射中7环的概率为0.87.方法二“射中7环以下”为“至少射中7环”的对立事件，所以所求事件的概率为1P(E)10.130.87.
9、P(DE)P(D)P(E)0.160.130.29，即射中环数不足8环的概率为0.29.题型三古典概型例3甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.解甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两名女教师分别用E，F表示.(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)
10、，(C，E)，(C，F)，共9种.从中选出的2名教师性别相同的结果有(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率P.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种.从中选出的2名教师来自同一学校的结果有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种.所以选出的2名教师来自同一学校的概率P.反思感悟解决古典概型问题时，把相关的
11、知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.跟踪训练3甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢.(1)若用A表示和为6的事件，求P(A)；(2)现连玩三次，若用B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件，为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由.解(1)基本事件个数与点集S(x，y)|xN，yN，1x5，1y5中的元素一一对应，所以S中点的总数为5525(个)，所以基本事件总数n25.事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1
12、)，共有5个，故P(A).(2)B与C不是互斥事件.因为B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次时，B，C同时发生.(3)这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的基本事件有13个：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，所以甲赢的概率为，乙赢的概率为，所以这种游戏规则不公平.题型四几何概型例4在区间0,5上随机地选择一个数p，则方程x22px3p20有两个负根的概率为_.答案解析由题意，得解得p1或2p5，所以所求概率P.反思感悟对于概率问题的计算，首先应判断概率模型.若试验同时
13、具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特点，则此试验为几何概型.由于其结果的无限性，概率就不能应用P(A)求解，故需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解.跟踪训练4如图所示的大正方形的面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为()A. B. C. D.答案D解析设阴影小正方形的边长为x，则在直角三角形中，有22(x2)2()2，解得x1或x5(舍去)，阴影部分的面积为1，飞镖落在阴影部分的概率为.数形结合思想在求解概率中的应用典例甲、乙两艘轮船都要停靠在一个不能同时停泊两艘船的泊位上，它们可以在
14、一昼夜的任意时刻到达，设甲、乙两艘船停靠泊位的时间分别是3 h和5 h，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率.解以甲船到达泊位的时刻x、乙船到达泊位的时刻y为横、纵轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意可得，0x24且0y24.设事件A有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间，事件B甲船停靠泊位时必须等待一段时间，事件C乙船停靠泊位时必须等待一段时间，则ABC，并且事件B与C是互斥事件，所以P(A)P(BC)P(B)P(C).而甲船停靠泊位时必须等待一段时间需满足的条件是0xy5，乙船需满足的条件是0300为严重污染.一环保人士记录了某地2016年某月10天的AQI的茎叶图如图所示.(1)
15、利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI100)的天数；(按这个月总共有30天计算)(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.解(1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，故该样本中空气质量优良的频率为，估计该月空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为3012.(2)该样本中为轻度污染的共4天，分别记为a1，a2，a3，a4；为中度污染的共1天，记为b；为重度污染的共1天，记为c.从中随机抽取两天的所有可能结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，
16、(a1，b)，(a1，c)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，a4)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共15个.其中空气质量等级恰好不同的结果有(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共9个.所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为.1.两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥.2.关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题：(1)本试验是不是等可能的？(2)本试验的基本事件有多少个？(3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错.3.几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关.求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解.4.模拟方法问题中，由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式.