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第三章 概率 章末复习课 学案(含答案)

1、章末复习学习目标1.梳理本章知识、构建知识网络.2.进一步理解频率与概率的关系,会用随机模拟的方法用频率估计概率.3.熟练掌握随机事件的概率及其基本性质,能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.4.能区分古典概型与几何概型,并能求相应概率.1.频率与概率频率是概率的近似值,是随机的,随着试验的不同而变化;概率是多数次的试验中频率的稳定值,是一个常数,不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率.2.事件的分类事件3.概率的性质(1)必然事件的概率为1.(2)不可能事件的概率为0.(3)随机事件A的概率为0P(A)1.4.古典概型的特征及计算公式(1)有限性:试验的所有可能结果只有有限个,每次

2、试验只出现其中的一个结果.(2)等可能性:每一个试验结果出现的可能性相同.(3)古典概型的计算公式P(A).5.(1)互斥事件:在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件.即P(AB)P(A)P(B).(2)对立事件:一般地,在一次试验中,不能同时发生且必有一个发生的两个事件称为对立事件.P(A)1,即P(A)1P().6.几何概型的概率计算公式P(点M落在G1).1.两个事件的和事件是指两个事件都发生的事件.()2.“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽”与“不发芽”.()3.在古典概型中,如果事件A的基本事件构成集合A,

3、试验的所有的基本事件构成集合I,则事件A的概率为(card(A)表示集合A中的元素个数).()4.相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值一定相等.()题型一频率与概率例1对一批U盘进行抽检,结果如下表:抽出件数a50100200300400500次品件数b345589次品频率(1)计算表中次品的频率;(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少?(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售2 000个U盘,至少需进多少个U盘?解(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆

4、动,所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进x个U盘,为保证其中有2 000个正品U盘,则x(10.02)2 000,因为x是正整数,所以x2 041,即至少需进2 041个U盘.反思感悟概率是个常数.但除了几类概型,概率并不易知,故可用频率来估计.跟踪训练1某射击运动员为备战奥运会,在相同条件下进行射击训练,结果如下:射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率0.80.950.880.920.890.91(1)该射击运动员射击一次,击中靶心的概率大约是多少?(2)假设该射击运动员射击了300次,则击中靶心的次数大

5、约是多少?(3)假如该射击运动员射击了300次,前270次都击中靶心,那么后30次一定都击不中靶心吗?解(1)由题意得,击中靶心的频率与0.9接近,故概率约为0.9.(2)击中靶心的次数大约是3000.9270.(3)由概率的意义可知,概率是个常数,不因试验次数的变化而变化.后30次中,每次击中靶心的概率仍是0.9,所以不一定不击中靶心.题型二互斥事件与对立事件例2甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同题目,选择题3个,判断题2个,甲、乙两人各抽一题.(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题的概率是多少?(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?解把3个选择题记为x1,

6、x2,x3,2个判断题记为p1,p2.“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的情况有:(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6种;“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的情况有:(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3),共6种;“甲、乙都抽到选择题”的情况有:(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2),共6种;“甲、乙都抽到判断题”的情况有:(p1,p2),(p2,p1),共2种.因此基本事件的总数为666220.(1)“甲抽到选择题,乙抽到判断

7、题”的概率为,“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的概率为,故“甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题”的概率为.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为,故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1.反思感悟在求有关事件的概率时,若从正面分析,包含的事件较多或较烦琐,而其反面却较容易入手,这时,可以利用对立事件求解.跟踪训练2(1)中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会女子乒乓球单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为_.答案解析甲夺得冠军与乙夺得冠军不可能同时发生,因此它们是互斥事件,故所求事件的概率为.(2)某射手在一次射击中射中10环

8、,9环,8环,7环,7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中:射中10环或9环的概率;至少射中7环的概率;射中环数不足8环的概率.解设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”分别为事件A,B,C,D,E.P(AB)P(A)P(B)0.240.280.52,即射中10环或9环的概率为0.52.方法一P(ABCD)P(A)P(B)P(C)P(D)0.240.280.190.160.87,即至少射中7环的概率为0.87.方法二“射中7环以下”为“至少射中7环”的对立事件,所以所求事件的概率为1P(E)10.130.87.

9、P(DE)P(D)P(E)0.160.130.29,即射中环数不足8环的概率为0.29.题型三古典概型例3甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.解甲校两名男教师分别用A,B表示,女教师用C表示;乙校男教师用D表示,两名女教师分别用E,F表示.(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D)

10、,(C,E),(C,F),共9种.从中选出的2名教师性别相同的结果有(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共4种,所以选出的2名教师性别相同的概率P.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.从中选出的2名教师来自同一学校的结果有(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共6种.所以选出的2名教师来自同一学校的概率P.反思感悟解决古典概型问题时,把相关的

11、知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件和随机事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.跟踪训练3甲乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(1)若用A表示和为6的事件,求P(A);(2)现连玩三次,若用B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问B与C是否为互斥事件,为什么?(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.解(1)基本事件个数与点集S(x,y)|xN,yN,1x5,1y5中的元素一一对应,所以S中点的总数为5525(个),所以基本事件总数n25.事件A包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1

12、),共有5个,故P(A).(2)B与C不是互斥事件.因为B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次时,B,C同时发生.(3)这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的基本事件有13个:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5),所以甲赢的概率为,乙赢的概率为,所以这种游戏规则不公平.题型四几何概型例4在区间0,5上随机地选择一个数p,则方程x22px3p20有两个负根的概率为_.答案解析由题意,得解得p1或2p5,所以所求概率P.反思感悟对于概率问题的计算,首先应判断概率模型.若试验同时

13、具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特点,则此试验为几何概型.由于其结果的无限性,概率就不能应用P(A)求解,故需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解.跟踪训练4如图所示的大正方形的面积为13,四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形,较短的直角边长为2,向大正方形内投掷飞镖,飞镖落在阴影部分的概率为()A. B. C. D.答案D解析设阴影小正方形的边长为x,则在直角三角形中,有22(x2)2()2,解得x1或x5(舍去),阴影部分的面积为1,飞镖落在阴影部分的概率为.数形结合思想在求解概率中的应用典例甲、乙两艘轮船都要停靠在一个不能同时停泊两艘船的泊位上,它们可以在

14、一昼夜的任意时刻到达,设甲、乙两艘船停靠泊位的时间分别是3 h和5 h,求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率.解以甲船到达泊位的时刻x、乙船到达泊位的时刻y为横、纵轴建立平面直角坐标系,如图所示,由题意可得,0x24且0y24.设事件A有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间,事件B甲船停靠泊位时必须等待一段时间,事件C乙船停靠泊位时必须等待一段时间,则ABC,并且事件B与C是互斥事件,所以P(A)P(BC)P(B)P(C).而甲船停靠泊位时必须等待一段时间需满足的条件是0xy5,乙船需满足的条件是0300为严重污染.一环保人士记录了某地2016年某月10天的AQI的茎叶图如图所示.(1)

15、利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI100)的天数;(按这个月总共有30天计算)(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI100)的这些天中,随机地抽取两天深入分析各种污染指标,求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.解(1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为1,空气质量良的天数为3,故该样本中空气质量优良的频率为,估计该月空气质量优良的频率为,从而估计该月空气质量优良的天数为3012.(2)该样本中为轻度污染的共4天,分别记为a1,a2,a3,a4;为中度污染的共1天,记为b;为重度污染的共1天,记为c.从中随机抽取两天的所有可能结果有:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),

16、(a1,b),(a1,c),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b),(a2,c),(a3,a4),(a3,b),(a3,c),(a4,b),(a4,c),(b,c),共15个.其中空气质量等级恰好不同的结果有(a1,b),(a1,c),(a2,b),(a2,c),(a3,b),(a3,c),(a4,b),(a4,c),(b,c),共9个.所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为.1.两个事件互斥,它们未必对立;反之,两个事件对立,它们一定互斥.2.关于古典概型,必须要解决好下面三个方面的问题:(1)本试验是不是等可能的?(2)本试验的基本事件有多少个?(3)事件A是什么,它包含多少个基本事件?只有回答好这三个方面的问题,解题才不会出错.3.几何概型的试验中,事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位置和形状无关.求试验为几何概型的概率,关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量,然后代入公式即可求解.4.模拟方法问题中,由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围,由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式.