1、2.3互斥事件学习目标1.了解互斥事件、事件AB及对立事件的概念和实际意义.2.能根据互斥事件和对立事件的定义辨别一些事件是否互斥、对立.3.学会用互斥事件概率加法公式计算一些事件的概率.知识点一互斥事件在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件.知识点二事件AB给定事件A，B，我们规定AB为一个事件，事件AB发生是指事件A和事件B至少有一个发生.知识点三互斥事件概率加法公式1.在一个随机试验中，如果随机事件A和事件B是互斥事件，那么有P(AB)P(A)P(B).2.如果随机事件A1，A2，An中任意两个是互斥事件，那么有P(A1A2An)P(A1)P(A2)P
2、(An).思考一枚均匀的骰子抛掷一次，记事件A“向上的点数大于2”；B“向上的点数大于3”；则P(AB)是否等于P(A)P(B)?答案AB即：向上的点数大于2，P(AB)，而P(A)，P(B)，P(A)P(B)P(AB).知识点四对立事件在同一次试验中，不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫作互为对立事件，事件A的对立事件记作；对立事件概率公式P()1P(A).1.若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件.()2.若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.()3.若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.()4.两个事件的和事件是指两个事件都发生.()题型一事件的关系与判断例1
3、判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；(4)“至少有1名男生”和“全是女生”.解(1)是互斥事件.理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件.(2)不是互斥事件.理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两
4、种结果，它们可能同时发生.(3)不是互斥事件.理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生.(4)是互斥事件.理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生.反思感悟如果A，B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A，B这两个事件所含结果组成的集合交集为空集.跟踪训练1(1)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有两个红球(
5、2)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶 B.只有一次中靶C.两次都中靶 D.两次都不中靶答案(1)D(2)D解析(1)根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件.(2)A，B，C中的事件均能与事件“至少有一次中靶”同时发生，故A，B，C错误，选D.题型二概率的加法公式例2从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A“抽到的是一等品”，事件B“抽到的是二等品”，事件C“抽到的是三等
6、品”，且P(A)0.7，P(B)0.1，P(C)0.05.求下列事件的概率：(1)事件D“抽到的是一等品或三等品”；(2)事件E“抽到的是二等品或三等品”.解(1)事件D即事件AC，因为事件A“抽到的是一等品”和事件C“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式知，P(D)P(AC)P(A)P(C)0.70.050.75.(2)事件E即事件BC，因为事件B“抽到的是二等品”和事件C“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式知，P(E)P(BC)P(B)P(C)0.10.050.15.反思感悟在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知(或较容易求
7、出)的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”.跟踪训练2在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在8089分的概率是0.51，在7079分的概率是0.15，在6069分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.解分别记小明的成绩在90分以上，在8089分，在7079分，在6069分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的.根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是P(BC)P(B)P(C)
8、0.180.510.69.小明考试及格的概率为P(BCDE)P(B)P(C)P(D)P(E)0.180.510.150.090.93.题型三对立事件的概率例3某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图所示，随机选取1个成员：(1)他至少参加2个小组的概率是多少？(2)他参加不超过2个小组的概率是多少？解(1)从题图可以看出，3个课外兴趣小组总人数为60.用A表示事件“选取的成员只参加1个小组”，则就表示“选取的成员至少参加2个小组”，所以P()1P(A)10.6.因此，随机选取1个成员至少参加2个小组的概率是0.
9、6.(2)用B表示事件“选取的成员参加3个小组”，则就表示“选取的成员参加不超过2个小组”，所以P()1P(B)1.所以随机选取的1个成员参加不超过2个小组概率等于.反思感悟求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.跟踪训练3甲、乙两人下棋，和棋的概率是，乙获胜的概率为，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率.解(1)“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为1.(2)方法一“甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(甲不输).方法二“甲不输”可看成是“乙获胜”
10、的对立事件，所以P(甲不输)1，故甲不输的概率为.运用方程思想求概率典例袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是.(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；(2)从中任取一球，求得到的不是红球或绿球的概率.解(1)从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，则P(A)，P(BC)P(B)P(C)，P(CD)P(C)P(D)，P(BCD)P(B)P(C)P(D)1P(A)1.联立解得P(B)，P(C)，P(D)，故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别
11、为，.(2)事件“得到红球或绿球”可表示为事件AD，由(1)及互斥事件的概率加法公式得P(AD)P(A)P(D)，故得到的不是红球或绿球的概率P1P(AD)1.素养评析(1)求概率可以考虑用对立事件、互斥事件的概率加法公式求解.如果有多个待求量，可以列方程组求解.(2)理解运算对策，选择运算方法，求得运算结果，这都是数学核心素养数学运算的具体体现.1.给出以下结论：互斥事件一定对立；对立事件一定互斥；互斥事件不一定对立；事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；事件A与B互斥，则有P(A)1P(B).其中正确命题的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3答案C解析对立必互斥，互斥不一定对立
12、，正确，错；又当ABA时，P(AB)P(A)，错；只有当A与B为对立事件时，才有P(A)1P(B)，错.2.把语文、数学、物理、化学四本书随机地分给甲、乙、丙、丁四位同学.每人一本，则事件“甲同学分得语文书”与事件“乙同学分得语文书”是()A.对立事件 B.不可能事件C.互斥但不对立事件 D.以上答案都不对答案C解析由于只有一本语文书，甲、乙两同学不可能同时得到，所以这两个事件为互斥事件.又因为甲、乙可以都得不到语文书，所以这两事件不是对立事件.3.在同一事件下，若P(AB)P(A)P(B)1，事件A与事件B的关系是()A.互斥不对立 B.对立不互斥C.互斥且对立 D.以上答案都不对答案C4.
13、从几个数中任取实数x，若x(，1的概率为0.3，x是负数的概率是0.5，则x(1,0)的概率是_.答案0.2解析设“x(，1”为事件A，“x是负数”为事件B，“x(1,0)”为事件C，由题意知，A，C为互斥事件，BAC，P(B)P(A)P(C)，P(C)P(B)P(A)0.50.30.2.5.某产品分甲、乙、丙三级，其中丙级为次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到正品的概率为_.答案0.99解析因为抽到次品的概率为0.01，所以抽到正品的概率是10.010.99.1.互斥事件与对立事件的判定(1)利用基本概念：互斥事件不可能同时发生；对立事件首
14、先是互斥事件，且必须有一个要发生.(2)利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.事件A与B互斥，即集合AB；事件A与B对立，即集合AB，且ABI，也即AIB或BIA；对互斥事件A与B的和AB，可理解为集合AB.2.运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率，然后用加法公式求出结果.3.求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解.如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误.