1、浙江省杭州市余杭区国际学校2019-2020学年度九年级第一学期期末考试数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.计算：sin60tan30= （ ） A.1B.12C.32D.22.如图A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么从B，C，D三个出口中恰好在C出口出来的概率为( ) A.14B.13C.12D.233.如图，AB,CD都垂直于x轴，垂足分别为B,D,若A（6，3），C（2，1），则三角形OCD与四边形ABCD的面积比为（ ） A.1：2B.1：3C.1：4D.1：84.如图所示的主视图和俯视图对应的几何体(阴影所示为右)是（ ） A.B.C.D.
2、5.把函数 y=12x2 的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数 y=12(x1)2+1 的图象（ ） A.向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位B.向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位C.向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位D.向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位6.如图，在扇形 AOB 中， AC 为弦， AOB=140 ， CAO=60 ， OA=6 ，则 BC 的长为（ ） A.43B.83C.23D.27.如图，在四边形ABCD中， DAB=90 ， ADBC ， BC=12AD ，AC与BD交于点E， ACBD ，则 tanBAC 的值是（ ）
3、A.14B.24C.22D.138.如图，AB为O的直径，BC为O的切线，弦ADOC ， 直线CD交BA的延长线于点E ， 连接BD 下列结论：CD是O的切线；CODB；EDAEBD；EDBC=BOBE 其中正确结论的个数有( ) A.4个B.3个C.2个D.1个9.如图，在边长为 3 的菱形 ABCD 中， B=30 ，过点 A 作 AEBC 于点 E ，现将 ABE 沿直线 AE 翻折至 AFE 的位置， AF 与 CD 交于点 G .则 CG 等于（ ） A.31B.1C.12D.3210.如图，在四边形ABCD中，DCAB，AD=5，CD=3，sinA=sinB= 13 ，动点P自A点
4、出发，沿着边AB向点B匀速运动，同时动点Q自点A出发，沿着边ADDCCB匀速运动，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（秒）时，APQ的面积为s，则s关于t的函数图象是（ ）A.B.C.D.二、填空题（每小题4分，共24分）11.若一个不透明的布袋中仅有2个红球，1个黑球，这些球除颜色外无其它差别，先随机摸出一个小球，记下颜色后放回搅匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球颜色不同的概率是_。 12.如图，在ABC中，AC=BC，将ABC绕点A逆时针旋转60，得到ADE.若AB=2，ACB=30，则线段CD的长度为_. 13.如图，把某矩形纸片ABCD
5、沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A点，D点的对称点为D点，若FPG=90，AEP的面积为4，DPH的面积为1.则矩形ABCD的面积等于_。14.如图，ABC内接于O，BC是O的直径，ODAC于点D，连接BD，半径OEBC，连接EA，EABD于点F.若OD2，则BC_. 15.如图，边长为4的等边ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边OBA1 ， 边OA1与AB交于点O1 ， 以O1B为边作等边O1BA2 ， 边O1A2与A1B交于点O2 ， 以O2B为边作等边O2BA3 ， 边O2A3与A2B
6、交于点O3 ， ，依此规律继续作等边On1BAn ， 记OO1A的面积为S1 ， O1O2A1的面积为S2 ， O2O3A2的面积为S3 ， ，On1OnAn1的面积为Sn ， 则Sn_.（n2，且n为整数） 16.如图，抛物线的顶点为P（2，2），与y轴交于点A（0，3）若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P（2，2），点A的对应点为A，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为_三、解答题（共7题；共66分）17.如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，AB=4，DE=4.3，DAE逆时针旋转后能够与DCF重合. （1）旋转中心是_，旋转角为_； （2）请你判断DFE的形状，简单说
7、明理由； （3）四边形DEBF的面积为_. 18.下图为某小区的两幢1O层住宅楼，由地面向上依次为第1层、第2层、第10层，每层的高度为3m，两楼间的距离AC=30m现需了解在某一时段内，甲楼对乙楼的采光的影响情况假设某一时刻甲楼楼顶B落在乙楼的影子长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为 （1）用含的式子表示h； （2）当30时，甲楼楼顶B的影子落在乙楼的第几层?从此时算起，若每小时增加10，几小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光 19.有两部不同的电影A、B，甲、乙两人分别从中任意选择一部观看。求： （1）甲选择电影A的概率； （2）甲、乙选择同一部电影的概率。 20.如图，在O中，直径AB与
8、弦CD相交于点P，CAB=62, APD=86。 （1）求B的大小； （2）已知AD=6，求圆心O到BD的距离。 21.如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈已知篮圈中心到地面的距离为3.05米 （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式； （2）该运动员身高1.7米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 22.如图，ABC内接于O，AD与BC是O的直径，延长线段AC至点G，使AGAD，连接DG交O于点E，EFAB交AG于点F. （1）求证：EF与O
9、相切. （2）若EF2 3 ，AC4，求扇形OAC的面积. 23.已知抛物线yax2+bx+c（a0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C ， OC3 （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当PBC面积最大时，求点P的坐标； （3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+ 12 QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由 浙江省杭州市余杭区国际学校2019-2020学年度九年级第一学期期末考试数学试卷一、选择题（30分）1.解： sin60tan30=3233=12 ， 故答案为：B.2.解：小明从A处进入公园
10、，出口有B，C，D一共3种结果，但恰好在C出口出来的只有1种情况， P（ 恰好在C出口出来的 ）=13. 故答案为：B. 3.设OA所在直线为y=kx， 将点A（6，3）代入得：3=6k，解得：k= 12 ，OA所在直线解析式为y= 12 x，当x=2时，y= 12 2=1，点C在线段OA上，AB，CD都垂直于x轴，且CD=1、AB=3，OCDOAB， SOCDSOAB=(CDAB)2=19 ,则OCD与四边形ABDC的面积比为1：8，故答案为：D.4.解：A、B、D选项的主视图符合题意； B选项的俯视图符合题意，综上：对应的几何体为B选项中的几何体.故答案为：B.5.解:抛物线 y=12x2
11、 的顶点坐标是 （0，0） ，抛物线线 y=12(x1)2+1 的顶点坐标是 （1，1） ， 所以将顶点 （0，0） 向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到顶点 （1，1） ，即将函数 y=12x2 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到函数 y=12(x1)2+1 的图象.故答案为：C.6.解：连接 OC ， OA=OC ， CAO=60 ，AOC 为等边三角形，AOC=60 ，BOC=AOBAOC=14060=80 ，则 BC 的长 =806180=83 ，故答案为： B .7.解： ADBC ， DAB=90 ， ABC=180DAB=90 ， BAC+EAD=
12、90 ， ACBD ， AED=90 ， ADB+EAD=90 ， BAC=ADB ， ABCDAB ， ABDA=BCAB ， BC=12AD ， AD=2BC ， AB2=BCAD=BC2BC=2BC2 ， AB=2BC ，在 RtABC 中， tanBAC=BCAB=BC2BC=22 ；故答案为：C.8.解：连结DO AB为O的直径，BC为O的切线， CBO90， ADOC， DAOCOB，ADOCOD 又OAOD， DAOADO， CODCOB 在COD和COB中， COCO，CODCOB，ODOB， CODCOB（SAS）， CDOCBO90 又点D在O上， CD是O的切线，故正确；
13、 CODCOB， CDCB， ODOB， CO垂直平分DB， 即CODB，故正确； AB为O的直径，DC为O的切线， EDOADB90， EDAADOBDOADO90， ADEBDO， ODOB， ODBOBD， EDADBE， EE， EDAEBD，故正确； EDOEBC90， EE， EODECB， EDBEODBC， ODOB， EDBCBOBE，故正确。 故答案为：A。9.B=30，AB= 3 ，AEBC AE= 32 ，BE= 32BF=3，EC= 3 - 32 ，则CF=3- 3又CGAB CGAB=CFBF CG3=333解得CG= 31 .10.解：过点Q做QMAB于点M当点Q
14、在线段AD上时，如图1所示， AP=AQ=t（0t5），sinA= 13 ，QM= 13 t，s= 12 APQM= 16 t2；当点Q在线段CD上时，如图2所示， AP=t（5t8），QM=ADsinA= 53 ，s= 12 . APQM= 56 t；当点Q在线段CB上时，如图3所示， AP=t（8t 2023 +3（利用解直角三角形求出AB= 2023 +3），BQ=5+3+5t=13t，sinB= 13 ，M= 13 （13t），s= 12 APQM= 16 （t213t），s= 16 （t213t）的对称轴为直线x= 132 综上观察函数图象可知B选项中的图象符合题意故答案为：B二、填
15、空题（24分）11.解：依题可画出树状图如下， ，从树状图中可知共有9种等可能的结果，则两次摸出的小球颜色不同有4种等可能的结果，两次摸出的小球颜色不同的概率P= 49 .故答案为： 49 .12.解：连接CE，如图， ABC绕点A逆时针旋转60，得到ADE，AD=AB=2，AE=AC，CAE=60，AED=ACB=30，ACE为等边三角形，AEC=60，DE平分AEC，DE垂直平分AC，DC=DA=2.故答案为：2.13.解：由对称图形可知， DC=DPAB=APAB=CDDP=APFPG=90，EPF=DPH，GPH=APEAPE+DPH=EPF+GPH=90又AEP+APE=90,AEP
16、=DPHAEPDPH因为面积比为4:1所以相似比为2:1设DH=k，则AP=DP=2k，AE=4kSPDH= 12 PDDH= 12k2k=1 k=1，故PH= k2+4k2 = 5 PE= (2k)2+(4k)2=25 AD=AE+EP+PH+HP=4+ 25 + 5 +1=5+3 5AB=2k=2S矩形ABCD=ABAD= (5+35)2=10+65 故答案为：10+6 5 .14.解：ODAC， ADDC，BOCO，AB2OD224，BC是O的直径，BAC90，OEBC，BOECOE90， BE=EC ，BAECAE 12 BAC 12 9045，EABD，ABDADB45，ADAB4，
17、DCAD4，AC8，BC AB2+AC2 42+82 4 5 .故答案为：4 5 .15.解：由题意： OO1A O1O2A1 O2O3A2 ， ， On1OnAn1 ，相似比： O1A1OA=OO1OA=sin60=32 ， S1=SAOO1=1213=32 ， S2S1=34 ，S2=34S1 ， S3=(34)2S1 ， ， Sn=(34)n1S1=(34)n132 ，故答案为： (34)n132 .16.连接AP，AP，过点A作ADPP于点D， 由题意可得出：APAP，AP=AP，四边形APPA是平行四边形，抛物线的顶点为P（2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿
18、直线移动到点P（2，2），PO= 22+22 =2 2 ，AOP=45，又ADOP，ADO是等腰直角三角形，PP=2 2 2=4 2 ，AD=DO=sin45OA= 22 3= 322 ，抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4 2 322 =12故答案为：12三、解答题（66分）17. （1）解：点D；90（2）解：DFE是等腰直角三角形. 理由：根据旋转可得DE=DF，EDF=ADC=90 ， 所以DFE是等腰直角三角形.；（3）解：根据旋转可得：ADECDF， 四边形DEBF的面积=正方形ABCD的面积=44=16.解：（1）由旋转可得，旋转中心是点D，旋转角是ADC=90. 故
19、答案为：点D，9018. （1）解：过E作EFAB，垂足为F，则BEF 在RtBFE中，FEAC30，AB10330BFABEC30htan BFFE ，BFEFtan即30h30tanh3030tan（2）解：当300时，h3030tan30012.68 甲楼顶B的影子落在第五层不影响乙楼的采光时，AB的影子顶部应刚好落在C处，此时，AB30，AC30，BCA450 ， 则450 ， 角每小时增加10度，应在1个半小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光.19. （1）解：共有两部电影，甲选择A部电影的概率 =12 .（2）解：画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中甲、乙2人选择同1部电影的
20、结果数为2，所以甲、乙2人选择同1部电影的概率=12 20. （1）解：APD=C+CAB, C=86-62=24B=C=24（2）解：过点O作OEBD于点EDE=BE，AB是直径，ADB=90，即ADBDOEAD，点E是BD的中点，点O是AB的中点OE是ADB的中位线，OE=12AD=126=3点O到BD的距离为3. 21. （1）解：抛物线的顶点坐标为(0，3.5)， 设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，由图可知函数图象过点(1.5，3.05)，2.25a+3.5=3.05，解得：a=-0.2，抛物线的表达式为y= - 0.2x2+3.5；（2）解：设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则
21、球出手时，球的高度为(h+1.7+0.25)m， (1)中求得y= - 0.2x2+3.5， h+1.7+0.25=0.2(2.5)2+3.5 ，解得：h=0.3，答：球出手时，他跳离地面的高度为0.3m.22. （1）证明：如图1，连接OE， ODOE，DOED，ADAG，DG，OEDG，OEAG，BC是O的直径，BAC90，EFAB，BAF+AFE180，AFE90，OEAG，OEF180AFE90，OEEF，EF与O相切（2）解：如图2，连接OE，过点O作OHAC于点H， AC4，CH 12AC=2 ，OHFHFEOEF90，四边形OEFH是矩形， OH=EF=23 ，在RtOHC中，O
22、C CH2+0H2 22+(23)2 4，OAACOC4，AOC是等边三角形，AOC60，S扇形OAC 6042360 83 .23. （1）解：函数的表达式为：ya（x1）（x3）a（x24x+3），即：3a3，解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx24x+3，则顶点D（2，1）；（2）解：将点B、C的坐标代入一次函数表达式：ymx+n并解得： 直线BC的表达式为：yx+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H ， 设点P（x ， x24x+3），则点H（x ， x+3），则SPBC 23 PHOB 32 （x+3x2+4x3） 32 （x2+3x）， 32 0，故SPBC有最大值，此时x 32 ，故点P（ 32 ， 34 ）；（3）解：存在，理由： 如上图，过点C作与y轴夹角为30的直线CH ， 过点A作AHCH ， 垂足为H ， 则HQ 12 CQ ， Q+ 12 QC最小值AQ+HQAH ， 直线HC所在表达式中的k值为 3 ，直线HC的表达式为：y 3 x+3则直线AH所在表达式中的k值为 33 ，则直线AH的表达式为：y 33 x+s ， 将点A的坐标代入上式并解得：则直线AH的表达式为：y 33 x+ 33 ，联立并解得：x 1334 ，故点H（ 1334 ， 3+34 ），而点A（1，0），则AH 3+32 ，即：AQ+ 12 QC的最小值为 3+32 .