1、2.2函数的表示法(二)2.3映射学习目标1.会用解析法及图像法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.了解映射的概念.知识点一分段函数1.一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数.2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.3.作分段函数图像时，应在同一坐标系内分别作出每一段的图像.知识点二映射映射的概念两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：AB.A中的元素x称为原像，B中的
2、对应元素y称为x的像，记作f：xy.函数一定是映射，映射不一定是函数. 1.函数f(x)是分段函数.()2.分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数.()3.分段函数各段上的函数值集合的交集为.()4.分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集.()题型一分段函数求值命题角度1给x求y例1已知函数f(x)试求f(5)，f()，f 的值.考点分段函数题点分段函数求值解5(，2，f(5)514.(2,2)，f()()22()32.(，2，f 1(2,2)，f f 22.延伸探究本例中f(x)的解析式不变，若x5，求f(x)的取值范围.解当5x2时，f(x)x14，1；当2x4
3、，所以f(5)523.因为30，所以f(f(5)f(3)341.因为08.考点分段函数题点分段函数与不等式结合解(1)当x02时，由2x08，得x04，不符合题意；当x02时，由x28，得x0或x0(舍去)，故x0.(2)f(x)8等价于或解得x，解得x，综合知f(x)8的解集为x|x.反思感悟已知函数值求变量x取值的步骤(1)先对x的取值范围分类讨论；(2)然后代入到不同的解析式中；(3)通过解方程求出x的解；(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内；(5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内符合要求的x的值并起来.跟踪训练2已知f(x)(1)若f(x)，求x的值；(2
4、)若f(x)，求x的取值范围.考点分段函数题点分段函数与不等式结合解(1)f(x)等价于或解得x，解集为.当f(x)时，x.(2)由于f ，结合此函数图像(图略)可知，使f(x)的x的取值范围是.题型二分段函数的定义域、值域例3(1)已知函数f(x)，则其定义域为()A.R B.(0，)C.(，0) D.(，0)(0，)答案D解析f(x)的分母不能为0，即x0.(2)函数f(x)的定义域为_，值域为_.答案(1,1)(1,1)解析定义域为各段的并集，即(0,1)0(1,0)(1,1).值域为各段的并集(0,1)0(1,0)(1,1).反思感悟(1)分段函数定义域、值域的求法分段函数的定义域是各
5、段函数定义域的并集.分段函数的值域是各段函数值域的并集.(2)绝对值函数的定义域，值域通常要转化为分段函数来解决.跟踪训练3已知函数f(x)则函数的定义域为_，值域为_.答案R0,1解析定义域为各段并集1,1(，1)(1，)R，值域为0,110,1.题型三映射的概念例4以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？(1)集合AP|P是数轴上的点，集合BR，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合AP|P是平面直角坐标系中的点，集合B(x，y)|xR，yR，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合Ax|x是三角形，集合Bx|x是圆，对应关系f：每一个三角形都对应它的
6、内切圆；(4)集合Ax|x是新华中学的班级，集合Bx|x是新华中学的学生，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.考点映射的概念题点判断对应是否为映射解(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到集合B的一个映射.(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到集合B的一个映射.(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到集合B的一个映射.(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，
7、所以这个对应f：AB不是从集合A到集合B的一个映射.反思感悟映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多.跟踪训练4设集合Ax|1x2，By|1y4，则下述对应关系f中，不能构成从A到B的映射的是()A.f：xyx2 B.f：xy3x2C.f：xyx4 D.f：xy4x2考点映射的概念题点判断对应是否为映射答案D解析对于D，当x2时，由对应关系y4x2得y0，在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成从A到B的映射.分段函数的图像及应用典例
8、1已知函数f(x)则函数f(x)的图像是()答案A解析当x1时，y0，排除D；当x0时，y1，排除C；当x1时，y2，排除B.典例2已知函数f(x)1(2x2).(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出该函数的图像；(3)写出该函数的值域.解(1)当0x2时，f(x)11；当2x0时，f(x)11x.所以f(x)(2)函数f(x)的图像如图所示.(3)由函数f(x)的图像知，f(x)在(2,2上的值域为1,3).素养评析(1)作分段函数的图像时，分别作出各段的图像，在作每一段图像时，先不管定义域的限制，作出其图像，再保留定义域内的一段图像即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
9、(2)利用图形描述、分析数学问题，建立数与形的联系是直观想象的重要内容，是数学核心素养的重要内容之一.1.设f：AB是从集合A到集合B的映射，则下列命题中，正确的是()A.A中每个元素在B中必有唯一元素与其对应B.B中每个元素在A中必有元素与其对应C.B中每个元素在A中对应的元素唯一D.A中不同的元素在B中对应的元素必不同答案A2.函数f(x)的值域是()A.R B.0，)C.0,3 D.x|0x2或x3答案D解析当0x1时，f(x)0,2，当1xf(t)，则实数t的取值范围是_.答案(4,4)解析f(2)4，f(4)8，不等式f(f(2)f(t)可化为f(t)8.当t0时，2t8，得4t0；
10、当t0时，t22t8，即(t1)29，得0t4.综上所述，t的取值范围是(4,4).5.已知f(n)则f(8)_.答案7解析因为810，所以代入f(n)n3，得f(13)10，故得f(8)f(10)1037.1.对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数.分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集.(2)分段函数的图像应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况.2.函数与映射的关系映射f：AB，其中A，B是两个非空的集合；而函数yf(x)，xA，A为非空的数集，其值域也是数集.于是，函数是数集到数集的映射.由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射.