1、2.3映射学习目标1.了解映射、一一映射的概念及表示方法(重点)；2.了解像与原像的概念；3.了解映射与函数的区别与联系(重、难点)知识点1映射的概念1两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：AB.2像与原像的概念在映射f：AB中，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：xy【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)在从集合A到集合B的映射中，集合B中的某一个元素b的原像可能不止一个()(2)集合A中的某一个元素a的像可能不止一个()(3)集合A中的两个不同元素所对应的像必
2、不相同()(4)集合B中的两个不同元素的原像可能相同()提示根据映射的概念可知(1)中元素必有唯一确定的像，但在像集中一个像可以有不同的原像，故只有(1)正确答案(1)(2)(3)(4)知识点2一一映射一一映射是一种特殊的映射，它满足：A中每一个元素在B中都有唯一的像与之对应；A中的不同元素的像也不同；B中的每一个元素都有原像【预习评价】1设集合A1，2，3，集合Ba，b，c，那么从集合A到集合B的一一映射的个数为()A3 B6 C9 D18解析A中有3个元素，B中也有3个元素，按定义一一列举可知有6个答案B2设f：xax1为从集合A到B的映射，若f(2)3，则f(3)_解析由f(2)3可知2
3、a13，a2，f(3)3a13215.答案5知识点3函数与映射设A、B是两个非空数集，f是A到B的一个映射，那么映射f：AB就叫作A到B的函数即函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射【预习评价】1从集合A到集合B的映射f：AB与从集合B到集合A的映射f：BA是不是相同映射？提示映射f：AB与映射f：BA不是相同映射.2映射一定是函数吗？函数一定是映射吗？提示当集合A，B为非空数集时，映射就是函数，否则不是，但函数都是映射题型一映射的概念【例1】判断下列对应是不是映射？(1)Ax|0x3，By|0y1，f：yx，xA，yB；(2)AN，BN*，f：y|x1|，xA，yB；(3)Ax|
4、0x1，By|y1，f：y，xA，yB；(4)AR，By|yR，y0，f：y|x|，xA，yB.解(1)是映射(2)对于A中的元素1，在f作用下的像是0，而0B，故(2)不是映射(3)是映射(4)是映射规律方法映射是一种特殊的对应，它具有(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一元素与之对应，可以是一对一，多对一，但不能一对多【训练1】下列对应是从集合M到集合N的映射的是()MNR，f：xy，xM，yN；MNR，f：xyx2，xM，yN；MNR，f：xy，xM，yN；MNR，f：xyx3，xM，yN.A B
5、 C D解析对于，集合M中的元素0在N中无元素与之对应，所以不是映射对于，M中的元素0及负实数在N中没有元素与之对应，所以不是映射对于，M中的元素在N中都有唯一的元素与之对应，所以是映射故选D.答案D题型二求某一映射中的像或原像【例2】设f：AB是A到B的一个映射，其中AB(x，y)|x，yR，f：(x，y)(xy，xy)(1)求A中元素(1，2)的像；(2)求B中元素(1，2)的原像解(1)A中元素(1，2)在B中对应的元素为(12，12)，即A中元素(1，2)的像为(3，1)(2)设A中元素(x，y)与B中元素(1，2)对应，则解得所以B中元素(1，2)的原像为.规律方法求某一映射中的像或
6、原像，要准确地利用对应关系，恰当地列出方程或方程组【训练2】设集合A、B都是坐标平面上的点集(x，y)|xR，yR，映射f：AB使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(xy，xy)，则在f作用下像(2，1)的原像是()A(3，1) B.C. D(1，3)解析由得故选B.答案B典例迁移题型三映射的个数问题【例3】已知Aa，b，c，B1，2则从A到B可以建立多少个不同的映射？解从A到B可以建立8个映射，如图所示【迁移1】(改变问法)本例条件不变，则从B到A的映射有多少个？解从B到A可以建立9个映射，如图所示 .【迁移2】(增加条件)本例若增加条件：f(a)f(b)f(c)0.则从A到B的映
7、射有多少个？解欲使f(a)f(b)f(c)0，需a，b，c中有两个元素对应1，一个元素对应2，共可建立3个映射【迁移3】(变换条件)本例条件变为设Aa，b，c，B1，0，1，若从A到B的映射f满足：f(a)f(b)f(c)，求这样的映射f的个数解要确定映射f，只需确定A中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)，f(b)，f(c)的值，由题可知f(a)，f(b)，f(c)1，0，1，且满足f(a)f(b)f(c)，列表f(a)f(b)f(c)000101011101011110110由上表可知，所求的映射有7个规律方法(1)如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从集合A到集合B的映射共
8、有nm个，从B到A的映射共有mn个(2)映射带有方向性，从A到B的映射与从B到A的映射是不同的课堂达标1下列对应是从集合A到集合B的映射为()设A1，2，3，4，B3，4，5，6，7，8，9，xA，对应关系f：x2x1；设AN，B0，1，xA，对应关系f：xx除以2得到的余数；设A(x，y)|x|2，xy2，xN，BN，xA，对应关系f：x小于x的最大质数A B C D解析是从A到B的映射，不是从A到B的映射答案C2下列集合A到集合B的对应中构成映射的是()解析在选项A、B中，由于集合A中的元素2在集合B中没有对应的元素，故构不成映射，在选项C中，集合A中的元素1在集合B中的对应元素不唯一，故
9、不构成映射，只有选项D符合映射的定义，故选D.答案D3设f：AB是从集合A到B的映射，AB(x，y)|xR，yR，f：(x，y)(kx，yb)，若B中元素(6，2)在映射f下的原像是(3，1)，则k，b的值分别为_解析由题意得得答案2，14已知集合A中元素(x，y)在映射f下对应B中元素(xy，xy)，则B中元素(4，2)在A中对应的元素为_解析由题意得解得答案(1，3)5判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，是不是从集合A到集合B的函数(1)AN*，BN*，对应关系f：x|x3|.(2)A平面内的圆，B平面内的矩形，对应关系f：作圆的内接矩形(3)A高一(1)班的男生，BR，对应关系f：
10、每个男生对应自己的身高(4)Ax|0x2，By|0y6，对应关系f：xyx.解(1)A中元素3在对应关系f的作用下为0，而0B，故不是映射，也不是函数(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射，也不是函数(3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一的元素与之对应，是集合A到集合B的映射，但集合A不是数集，故不是集合A到集合B的函数(4)因为A中每一个元素在f：xyx作用下对应的元素构成集合Cy|0y1B，是A到B的映射，也是从集合A到集合B的函数课堂小结1对映射的定义应注意以下几点：(1)集合A和B必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其他集合(2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达2映射的特征(1)任意性：A中任意元素x在B中都有元素y与之对应，即A中元素不能空着(2)唯一性：从集合A到集合B的映射，允许多个元素对应一个元素，而不允许一个元素对应多个元素，即一对多不是映射(3)方向性：f：AB与f：BA，一般是不同的映射3映射与函数的关系函数是特殊的映射，即当两个集合A，B均为非空数集时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广