1、章末复习考点一函数的概念例1已知函数f(x)(1)求f(x)的定义域，值域；(2)求f(f(1)；(3)解不等式f(x1).考点分段函数题点分段函数的综合应用解(1)f(x)的定义域为(0,1)1,2).易知f(x)在(0,1)上为增函数，在上为减函数，当x1时，f(x)max，又f(0)0，f0，值域为.(2)f(1).f(f(1)f.(3)f(x1)等价于或或解得x0，解得0x的解集为.反思感悟分段函数也是对应关系f的一种，在此对应f，仍整体上构成一个函数，故分段函数的定义域、值域分别只有一个集合，但在具体对应层面不论是由x求y，还是由y求x，都要按分段标准对号入座各行其道.跟踪训练1(1
2、)设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x2)f(x)，当x1,1)时，f(x)则f_.答案1解析因为f(x2)f(x)，所以fff4221.(2)函数y的值域是_.答案(0,2解析因为|x|11，所以01时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性.解(1)令yx，则f(1)f(x)f(x)0.(2)设x1，x2(0，)且x11，f0，ff(x2)f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上是减函数.反思感悟抽象函数单调性的判断，其关键是根据条件合理赋值，转化成函数单调性定义的形式.跟踪训练3设函数f(x)对任意实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)，且x0时，f(x)
3、0，f(1)2.(1)求证：f(x)是奇函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值与最小值.(1)证明令xy0，则f(0)f(0)f(0)，f(0)0.令yx，则f(0)f(x)f(x)，即f(x)f(x)，f(x)是奇函数.(2)解设x1，x2R且x10，f(x2x1)0.令xx2，yx1，则f(x2x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)，f(x)是R上的减函数，f(x)maxf(3)f(3)3f(1)6，f(x)minf(3)f(3)6.考点三函数性质的综合应用例4已知函数f(x)是定义在区间1,1上的奇函数，且f(1)1，若对于任意的m，n1,1有0.(1)判断函数的单调
4、性(不要求证明)；(2)解不等式ff(1x)；(3)若f(x)2at2对于任意的x1,1，a1,1恒成立，求实数t的取值范围.考点函数的单调性、奇偶性、最值的综合应用题点奇偶性、单调性及最值的综合问题解(1)函数f(x)在区间1,1上是增函数.(2)由(1)知函数f(x)在区间1,1上是增函数，由ff(1x)，得解得0x.所以不等式ff(1x)的解集为.(3)因为函数f(x)在区间1,1上是增函数，且f(1)1，要使得对于任意的x1,1，a1,1都有f(x)2at2恒成立，只需对任意的a1,1，2at21恒成立.令y2at1，此时y可以看作a的一次函数，且在a1,1时，y0恒成立.因此只需解得
5、t，所以实数t的取值范围为.反思感悟(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图像辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值.(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意根据解题需要给x灵活赋值.跟踪训练4已知函数f(x)是奇函数，且f(2).(1)求实数m和n的值；(2)求函数f(x)在区间2，1上的最值.解(1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，.比较得nn，n0.又f(2)，解得m2.因此，实数m和n的值分别是2和0.(2)由(1)知f(x).任取x1，x22，1，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2).2x1x21，x1x21
6、，x1x210，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).函数f(x)在2，1上为增函数.f(x)maxf(1)，f(x)minf(2).考点四函数图像的画法及应用例5定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，(1)试画出f(x)，x3,5的图像；(2)求f(37.5)；(3)常数a(0,1)，ya与f(x)，x3,5的图像相交，求所有交点横坐标之和.考点函数图像的对称性题点对称问题综合解(1)f(x)为奇函数，f(x2)f(x)，f(x)关于直线x1对称.由f(x)在0,1上的图像反复关于(0,0)，x1对称，可得f(x)，x3,5的图像如图.(2)由图
7、可知f(x4)f(x)，f(37.5)f(491.5)f(1.5)f(0.5)0.5.(3)由图可知，当a(0,1)时，ya与f(x)，x3,5有4个交点，交点的横坐标分别设为x1，x2，x3，x4(x1x2x3x4).由图可知1，3.x1x2x3x4264.反思感悟画函数图像的主要方法有描点法和先研究函数性质再根据性质画图，一旦有了函数图像，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果.跟踪训练5已知奇函数f(x)(1)求实数m的值；(2)画出函数的图像；(3)若函数f(x)在区间1，|a|2上是增函数，试确定a的取值范围.考点函数图像的对称性题点对称问题综合解(1)当x0，f(x
8、)(x)22(x)x22x.又因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，所以当x0时，f(x)x22x，则m2. (2)由(1)知f(x)函数f(x)的图像如图所示. (3)由图像可知f(x)在1,1上是增函数，要使f(x)在1，|a|2上是增函数，只需1|a|21，即1|a|3，解得3a1或11，f(3)32333，1，ff12.3.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)等于()A.3 B.1C.1 D.3考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数值答案C解析f(1)g(1)f(1)g(1)(1)3(1)211.4.已知函数y的图像与函数ykx2的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是_.考点函数图像题点函数图像的应用答案(0,1)(1,4)解析根据绝对值的意义，得y在平面直角坐标系中作出该函数的图像，如图所示.根据图像可知，当0k1或1k4时有两个交点.5.若f(x)是偶函数，其定义域为(，)，且在0，)上是减函数，设f m，f n，则m，n的大小关系是_.考点单调性与奇偶性的综合应用题点综合利用函数的单调性、奇偶性比较大小答案mn解析因为a22a(a1)2，又f(x)在0，)上是减函数，所以f f f .