1、5简单的幂函数(一)学习目标1.了解幂函数的概念.2.掌握yx的图像与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题.知识点一幂函数的概念如果一个函数底数是自变量x，指数是常量，即yx，这样的函数称为幂函数.知识点二幂函数的图像与性质如图在同一坐标系内作出函数(1)yx；(2)y；(3)yx2；(4)yx1；(5)yx3的图像.填写下表：yxyx2yx3yyx1定义域RRR0，)x|x0值域R0，)R0，)y|y0单调性增在0，) 上增加，在(，0上减少增增在(0，) 上减少，在(，0)上减少总结根据上表，可以归纳一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0
2、，)上都有定义，并且图像都过点(1,1)；(2)0时，幂函数的图像通过原点，并且在区间0，)上是增函数.特别地，当1时，幂函数的图像下凸；当01时，幂函数的图像上凸；(3)1)，它同各幂函数图像相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列.1.y是幂函数.()2.当x(0,1)时，x2x3.()3.y与y定义域相同.()4.若yx在(0，)上为增函数，则0.()题型一幂函数的概念例1(1)下列函数：yx3；yx；y4x2；yx51；y(x1)2；yx；yax(a1).其中幂函数的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析幂函数有两个.(2)已知y2n3是幂函数，求m，n的值.
3、考点幂函数的概念题点由幂函数定义求参数值解由题意得解得或所以m3或1，n.反思感悟只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常数这三个条件，才是幂函数.如：y3x2，y(2x)3，y4都不是幂函数.跟踪训练1(1)已知幂函数f(x)kx的图像过点，则k等于()A. B.1 C. D.2答案C解析由幂函数的定义知k1.又f，所以，解得，从而k.(2)已知f(x)ax2a1b1是幂函数，则ab等于()A.2 B.1 C. D.0答案A解析因为f(x)ax2a1b1是幂函数，所以a1，b10，即a1，b1，则ab2.题型二幂函数的图像及应用例2若点(，2)在幂函数f(x)的图像上，点在
4、幂函数g(x)的图像上，问当x为何值时，(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)1或xg(x)；(2)当x1或x1时，f(x)g(x)；(3)当1x1且x0时，f(x)g(x).延伸探究若对于本例中的f(x)，g(x)，定义h(x)试画出h(x)的图像.解h(x)的图像如图所示：反思感悟由幂函数的定义确定函数解析式，掌握幂函数的图像特点，数形结合可求解关于幂函数的不等式与方程.跟踪训练2(1)如图所示，C1，C2，C3为幂函数yx在第一象限内的图像，则解析式中的指数依次可以取()A.，2，B.2，C.2，D.，2答案C(2)下列关于函数yx与yx的图像正确的是()答案C题
5、型三利用幂函数的性质比较大小例3设函数f(x)，若f(a)f(b)，则()A.a2b2 B.a2b2C.ab D.ab答案A解析函数f(x)在第一象限为增函数，由f(a)f(b)可知|a|b|，a2b2.反思感悟注意幂函数的特点：指数不变.比较大小的问题主要是利用函数的单调性.跟踪训练3比较下列各组数中两个数的大小：(1)0.3与0.3；(2)1与1；解(1)00.3，0.30.3.(2)yx1在(，0)上是减函数，又1.幂函数性质的应用典例已知幂函数yx3m9 (mN*)的图像关于y轴对称且在(0，)上是减函数，求满足的a的取值范围.考点幂函数的性质题点利用幂函数的性质解不等式解因为函数在(
6、0，)上是减函数，所以3m90，解得m32a0或32aa10或a1032a，解得a或a1.故a的取值范围是.素养评析(1)幂函数yx中只有一个参数，幂函数的所有性质都与的取值有关，故可由确定幂函数的定义域、值域、单调性，也可由这些性质去限制的取值.(2)通过具体事例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，所以，本典例体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养.1.下列幂函数中，定义域不是R的是()A.yx B.y C.y D.y答案B2.以下结论正确的是()A.当0时，函数yx的图像是一条直线B.幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点C.若幂函数yx的图像关于原点对称，则yx在定义域内
7、y随x的增大而增大D.幂函数的图像不可能在第四象限，但可能在第二象限考点幂函数的综合问题题点幂函数的综合问题答案D3.若a0，则0.5a，5a，5a的大小关系是()A.5a5a0.5a B.5a0.5a5aC.0.5a5a5a D.5a5a0.5a答案B解析5aa，因为a0时，函数yxa在(0，)上是减函数，且0.55，所以5a0.5a5a.4.已知幂函数f(x)的图像过点(4,2)，则f _.答案解析设幂函数f(x)x.f(4)42，.即f(x)f.5.若幂函数f(x)在(0，)上是减函数，则实数m_.答案2解析令m2m11得：m2或m1.当m2时，m22m33符合要求.当m1时，m22m30不符合要求.1.幂函数yx(R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准.2.幂函数yx的图像与性质由于的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)当0时，图像过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图像上升；当0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性，当1时，曲线下凸；当01时，曲线上凸；当0时，曲线下凸.3.在具体应用时，不一定是yx，1，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.