1、1.2利用二分法求方程的近似解学习目标1.理解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.知识点一二分法的原理二分法的概念如果在区间a，b上，函数f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(a)f(b)0，则区间a，b内有方程f(x)0的解.依次取有解区间的中点，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)0，则x0就是所求的一个解；如果区间中点的函数值总不等于零，那么，不断地重复上述操作，就得到一系列闭区间，方程的一个解在这些区间中，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程的解，可以得到一个近似解.像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要
2、留下其中一个小区间的方法称为二分法.知识点二近似解在许多实际应用中，不需要求出方程精确的解，只要满足一定的精度就可以.设 是方程f(x)0的一个解，给定正数，若x0满足|x0|，就称x0是满足精度的近似解.为了得到满足精度的近似解，只需找到方程的一个有解区间a，b，使得区间长度ba，那么区间(a，b)内任意一个数都是满足精度的近似解.事实上，任意选取两数x1，x2(a，b)，都有|x1x2|.由于 (a，b)，所以任意选取x(a，b)都有|x|.1.如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值.()2.要用二分法，必须先确定零点所在区间.()3.用二分法最后一定能求出函数零点.()
3、4.达到精度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值.()题型一二分法概念的理解例1以下每个图像表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是()考点二分法的概念题点判断是否能用二分法求解零点答案C解析使用二分法必先找到零点所在区间a，b，且f(a)f(b)0，f(1.556 25)0.0290，即f(1.562 5)f(1.556 25)0，且1.562 51.556 250.006 250.01，所以函数f(x)3xx4的一个零点的近似值可取为1.562 5(也可以取1.556 25).反思感悟利用二分法求方程的近似解的步骤(1)构造函数，利用图像确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(
4、n，n1)，nZ.(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点.跟踪训练2(1)用二分法求方程2x3x70在区间1,3内的根，取区间的中点为x02，那么下一个有根的区间是_.答案(1,2)解析设f(x)2x3x7，f(1)23720，f(2)30，f(x)零点所在的区间为(1,2)，所以方程2x3x70有根的区间是(1,2).(2)用二分法求函数f(x)x33的一个零点(精确度0.02).考点用二分法求函数零点的近似值题点用二分法求方程的近似解解由于f(0)30，f(1)20，f(2)50，故可取区间(1,2)作为计算的
5、初始区间.用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数值(或近似值)(1,2)1.50.375(1,1.5)1.251.047(1.25,1.5)1.3750.400(1.375,1.5)1.437 50.030(1.437 5,1.5)1.468 750.168(1.437 5,1.468 75)1.453 1250.068(1.437 5,1.453 125)因为|1.453 1251.437 5|0.015 6250.02，所以函数f(x)x33的零点的近似值可取为1.437 5.二分法思想的应用典例函数f(x)2xx32在(0,1)内有无零点？若有，该零点是在内还是在内？考点用二分
6、法求函数零点的近似值题点用二分法判断函数零点所在的区间解f(x)为R上的增函数且f(0)200320，f(x)在(0,1)内有且仅有1个零点x0.又f 320，x0.素养评析二分法思想的应用，一般根据函数yf(x)的函数图像，观察图像与x轴的交点个数，确定零点个数.依据图像估计零点所在的初始区间m，n，然后用二分法逐步缩小区间的“长度”，直到符合精确度，二分法的应用突出体现直观想象和数学运算的数学核心素养.1.下列函数中，只能用二分法求其零点的是()A.yx7 B.y5x1C.ylog3x D.yxx考点二分法的概念题点二分法概念的理解答案D2.下列图像所表示的函数中能用二分法求零点的是()考
7、点二分法的概念题点判断是否能用二分法求解零点答案C3.用二分法求函数f(x)x35的零点可以取的初始区间是()A.2,1 B.1,0 C.0,1 D.1,2答案A4.定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)0，用二分法求x0时，当f 0时，则函数f(x)的零点是()A.(a，b)外的点B.xC.区间或内的任意一个实数D.xa或b考点用二分法求方程的近似解题点用二分法判断函数零点所在区间答案B5.用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)f(4)0，取区间(2,4)的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0所在的区间是()A.(2,4) B.(2,3)C.(3,4) D.无法确定考点用二分法求方程的近似解题点用二分法判断函数零点所在区间答案B1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.2.二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图像是连续的，且两端点函数值反号.3.求函数零点的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同.