1、5简单的幂函数(二)学习目标1.了解函数奇偶性的含义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题.知识点一函数奇偶性的几何特征一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数，图像关于原点对称的函数叫作奇函数.知识点二函数奇偶性的定义(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫作偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x)关于y轴的对称点(x，f(x)也在f(x)图像上.(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫作奇函数.其实质是函数f(x)上任一点
2、(x，f(x)关于原点的对称点(x，f(x)也在f(x)图像上.(3)由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数x必须也在定义域内，所以判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称.知识点三奇偶性与单调性(1)若奇函数f(x)在a，b上是增函数，且有最大值M，则f(x)在b，a上是增函数，且有最小值M.(2)若偶函数f(x)在(，0)上是减函数，则f(x)在(0，)上是增函数.(3)知道了函数的奇偶性，我们可以先研究函数的一半，再利用对称性了解其另一半，从而减少工作量.1.奇、偶函数的定义域都关于原点对称.()2.函数f(x)x2|x|的图像关于原点对称.()3
3、.对于定义在R上的函数f(x)，若f(1)f(1)，则函数f(x)一定是偶函数.()4.存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个.()题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)；(2)f(x)x2(x22)；(3)f(x)；(4)f(x).解(1)f(x)的定义域为(，0)(0，)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数.(2)f(x)x2(x22)的定义域为R.f(x)f(x)，f(x)x2(x22)是偶函数.(3)f(x)的定义域为(，1)(1，)，定义域不关于原点对称，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.(4)f(x)的定义域为1,1.f(x)f(x)f(x)0，f(x
4、)既为奇函数，又为偶函数.反思感悟利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，x也一定属于定义域.其次验证f(x)f(x)或f(x)f(x)是否成立.跟踪训练1判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)解(1)函数f(x)的定义域为0，)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数.(2)f(x)的定义域为1,0)(0,1，关于原点对称.f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数.(3)f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，当x0时，x0，则f(x)(x)2(x)x2xf(x)；当x0，则f(x)(x)2
5、(x)x2xf(x)，所以f(x)是偶函数.题型二奇偶性的应用命题角度1奇(偶)函数图像的对称性的应用例2定义在R上的奇函数f(x)在0，)上的图像如图所示.(1)画出f(x)的图像；(2)解不等式xf(x)0.考点函数图像的对称性题点中心对称问题解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(1，1)，(2,0)，连线可得f(x)的图像如图.(2)xf(x)0即图像上横坐标、纵坐标同号.结合图像可知，xf(x)0的解集是(2,0)(0,2).延伸探究把例2中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题.解(1)f(x)的图像如图所示：(2)xf(x)0的解集是(，2)(0,2).反思感悟可以用
6、奇(偶)函数图像关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性.跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图像如图所示.(1)画出在区间5,0上的图像；(2)写出使f(x)0的x的取值集合.考点函数图像的对称性题点中心对称问题解(1)如图，在0,5上的图像上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O，A，B，C，D，再用光滑曲线连接即得.(2)由(1)图可知，当且仅当x(2,0)(2,5)时，f(x)0.使f(x)0时，f(x)x1，求当x0时，f(x)的解析式.考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式解设x0，f(x)(x)
7、1x1，又函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)f(x)x1，当x0时，f(x)2xx2.求yf(x)的解析式.考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式解设x0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)2(x)(x)22xx2.因为yf(x)是R上的奇函数，所以f(0)0.所以f(x)命题角度3奇偶性对单调性的影响例4设f(x)是偶函数，在区间a，b上是减函数，试证f(x)在区间b，a上是增函数.考点单调性与奇偶性的综合应用题点判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性证明设x1，x2是区间b，a上任意两个值，且有x1x2.bx1x2a，ax2x1b.f(x)在a，b上是减函数，f(x
8、2)f(x1).f(x)为偶函数，即f(x)f(x)，f(x2)f(x2)，f(x1)f(x1).f(x2)f(x1)，即f(x1)0，则x的取值范围是_.考点单调性与奇偶性的综合应用题点利用奇偶性、单调性解不等式答案(1,3)解析f(x)为偶函数，f(x1)f(|x1|)，又f(2)0，f(x1)0，即f(|x1|)f(2)，|x1|,20，)，且f(x)在0，)上是减函数.|x1|2，即2x10时，f(x)x1，则当x0时f(x)等于()A.x1 B.x1 C.x1 D.x1考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式答案A5.定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增函数，若f(a)f
9、(b)，则一定可得()A.abC.|a|b| D.0ab0考点单调性与奇偶性的综合应用题点利用奇偶性、单调性解不等式答案C1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为奇函数；如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为偶函数.2.两个性质：函数为奇函数它的图像关于原点对称；函数为偶函数它的图像关于y轴对称.3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.4.(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)f(x)，它能使自变量化归到0，)上，避免分类讨论.5.具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在a，b和b，a上具有相同的单调性.(2)偶函数在a，b和b，a上具有相反的单调性.